2027학년도 수학 46번 문항 분석

출제 의도

타원과 쌍곡선의 **정의(초점 거리 관계)**를 정확히 이해하고, 정삼각형 조건과 코사인 법칙을 결합하여 미지수를 결정할 수 있는지를 평가해요.

성취기준: [12기하01-02] 타원의 뜻을 알고 타원의 방정식을 구할 수 있다 / [12기하01-03] 쌍곡선의 뜻을 알고 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다

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조건 분석

조건 간 관계:

• 조건 ②④가 결합되어 "$\displaystyle A$는 $\displaystyle \overline{PF}$의 중점"이라는 핵심 관계가 나와요. 이것을 놓치면 풀이 진입 자체가 불가능해요.
• 조건 (가)는 변의 길이 관계와 각도를 동시에 제공하고, 조건 (나)는 쌍곡선 정의를 이용해 $\displaystyle \overline{BQ}$를 $\displaystyle a$로 표현하는 데 사용돼요.

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정석 풀이

Step 1. 핵심 관계 파악 — $\displaystyle A$는 $\displaystyle \overline{PF}$의 중점

점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle P$는 모두 직선 $\displaystyle x = c$ 위에 있어요. $\displaystyle A$는 타원 위의 점이고, $\displaystyle P$는 쌍곡선 위의 점이에요. 이 쌍곡선의 초점이 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$이므로, $\displaystyle x = c$ 위에서 $\displaystyle A$는 초점이자 타원 위의 점이에요.

$\displaystyle \overline{AF} = a$로 놓으면, $\displaystyle A$는 $\displaystyle F$ 바로 위에 있으므로 $\displaystyle \overline{AF}$는 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle F$까지의 거리예요. $\displaystyle P$도 $\displaystyle x = c$ 위에 있고 $\displaystyle A$보다 위에 있으므로, $\displaystyle A$는 선분 $\displaystyle PF$의 중점이 돼요.

$\displaystyle \therefore \overline{PF} = 2a$

Step 2. 조건 (가) 적용 — 정삼각형에서 변의 길이

삼각형 $\displaystyle BFP$가 정삼각형이므로:

$\displaystyle \overline{BF} = \overline{FP} = \overline{BP} = 2a$

Step 3. 타원의 정의로 장축의 길이 계산

타원 위의 점 $\displaystyle B$에 대해 타원의 정의를 적용해요. $\displaystyle B$는 직선 $\displaystyle x = -c$ 위에 있으므로, $\displaystyle B$에서 초점 $\displaystyle F'(-c, 0)$까지의 거리는 $\displaystyle \overline{BF'} = \overline{AF}$예요 (타원의 대칭성).

$\displaystyle \text{장축의 길이} = \overline{BF} + \overline{BF'} = 2a + a = 3a$

Step 4. $\displaystyle \overline{BQ} = b$로 놓고 조건 (나) 변환

$\displaystyle \overline{BQ} = b$로 놓을게요. 조건 (나)에서 "삼각형 $\displaystyle BQR$의 둘레의 길이"를 쌍곡선 정의로 변환해요.

$\displaystyle Q$, $\displaystyle R$은 모두 쌍곡선 위의 점이고 초점이 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$이므로, 쌍곡선의 정의에 의해 거리 차가 일정해요. 삼각형 $\displaystyle BQR$의 둘레의 길이를 쌍곡선 정의로 치환하면 $\displaystyle 3\overline{BQ} = 3b$가 돼요.

조건 (나):

$$\begin{aligned} (\overline{BF} + \overline{BF'}) - 3\overline{BQ} &= 3 \\ 3a - 3b &= 3 \\ b &= a - 1 \end{aligned}$$

Step 5. 쌍곡선의 정의로 $\displaystyle \overline{AQ}$ 계산

점 $\displaystyle F$와 점 $\displaystyle Q$는 모두 쌍곡선 위의 점이에요. 쌍곡선의 정의에서:

$\displaystyle \overline{BF} - \overline{AF} = \overline{AQ} - \overline{BQ}$

$$\begin{aligned} \overline{AQ} &= (\overline{BF} - \overline{AF}) + \overline{BQ} \\ &= (2a - a) + b \\ &= a + (a - 1) \\ &= 2a - 1 \end{aligned}$$

Step 6. $\displaystyle \overline{QF}$ 계산

점 $\displaystyle Q$는 직선 $\displaystyle BF$ 위에 있으므로:

$\displaystyle \overline{QF} = \overline{BF} - \overline{BQ} = 2a - b = 2a - (a - 1) = a + 1$

Step 7. 코사인 법칙 적용

삼각형 $\displaystyle AQF$에서 $\displaystyle \angle AFQ = 60°$ (정삼각형 $\displaystyle BFP$의 내각)이므로 코사인 법칙을 적용해요:

$\displaystyle \overline{AQ}^2 = \overline{AF}^2 + \overline{QF}^2 - 2 \times \overline{AF} \times \overline{QF} \times \cos 60°$

각 값을 대입하면:

$$\begin{aligned} (2a - 1)^2 &= a^2 + (a + 1)^2 - 2 \times a \times (a + 1) \times \frac{1}{2} \\ 4a^2 - 4a + 1 &= a^2 + a^2 + 2a + 1 - a(a + 1) \\ 4a^2 - 4a + 1 &= a^2 + a^2 + 2a + 1 - a^2 - a \\ 4a^2 - 4a + 1 &= a^2 + a + 1 \end{aligned}$$

정리하면:

$$\begin{aligned} 3a^2 - 5a &= 0 \\ a(3a - 5) &= 0 \end{aligned}$$

$\displaystyle a > 0$이므로:

$\displaystyle a = \frac{5}{3}$

Step 8. 최종 답 계산

$\displaystyle 60 \times \overline{AF} = 60 \times \frac{5}{3} = 100$

∴ 답: 100

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별해

[역추적] 정삼각형 + 중점 관계를 좌표로 직접 설정

점 $\displaystyle A$가 $\displaystyle \overline{PF}$의 중점이라는 사실을 빠르게 파악하는 것이 핵심이에요. $\displaystyle F = (c, 0)$, $\displaystyle A = (c, a)$로 놓으면 $\displaystyle P = (c, 2a)$이고, 정삼각형 조건에서 $\displaystyle B$의 좌표를 직접 구한 뒤 타원·쌍곡선 방정식에 대입하는 방법이에요.

• 장점: 좌표 설정이 명확해서 각도 계산을 기하적 직관 없이도 처리 가능
• 단점: 정석 풀이 대비 계산량이 더 많아질 수 있음

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오답 분석

주관식 문항이므로 선지 분포는 없지만, 흔한 오답 패턴을 정리할게요.

흔한 오답 패턴:

함정 포인트:

• $\displaystyle \overline{BF'} = \overline{AF}$라는 타원의 대칭 성질을 정확히 적용하지 못하면 장축의 길이가 $\displaystyle 3a$가 아닌 다른 값으로 빠질 수 있어요.
• 쌍곡선 정의 적용 시 $\displaystyle Q$가 어느 가지(branch)에 있는지를 확인하지 않으면 거리 차의 부호를 잘못 처리하게 돼요.

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유사 기출

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핵심 정리

• 선수 개념: 타원·쌍곡선의 정의 (초점 거리 합/차), 코사인 법칙
• 이 문항의 핵심: "같은 직선 위의 두 점 → 중점 관계" 파악이 풀이의 열쇠. 정삼각형 조건으로 길이와 각도를 동시에 확보한 뒤, 쌍곡선 정의로 미지수를 줄이고 코사인법칙으로 최종 결정하는 구조예요.
• 관련 공식:

$\displaystyle \text{타원}: \overline{PF} + \overline{PF'} = 2a \qquad \text{쌍곡선}: \left|\overline{PF} - \overline{PF'}\right| = 2a \qquad \text{코사인법칙}: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

• 자주 틀리는 포인트: 쌍곡선 정의 적용 시 절댓값 처리(어느 초점이 더 가까운지)와 코사인법칙의 각도 선택(어느 삼각형의 어느 꼭짓점인지)을 반드시 확인하세요.

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출처: 서울특별시교육청 (2027학년도 3월 전국연합학력평가)