2024학년도 수학 22번 문항 분석

조건 분석

조건 간 관계: 조건 ①이 $\displaystyle f(x)$의 구체적 형태를 결정하고, 조건 ②가 $\displaystyle g(t)$를 정의해요. 조건 ③이 미분가능하지 않은 점이 "정확히 2개"라는 강한 제약을 주어, 일부 경계점에서는 미분가능해야 한다는 조건이 추가돼요. 이 결합 조건이 $\displaystyle \beta$의 값을 유일하게 결정하는 핵심 장치예요.

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정석 풀이

Step 1. $\displaystyle h(x) = x^3 - 3x + 8$의 그래프 개형 분석

$\displaystyle h(x)$를 미분하여 극값을 구해요.

$\displaystyle h'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$

$\displaystyle h(-1) = -1 + 3 + 8 = 10 \quad (\text{극대}), \qquad h(1) = 1 - 3 + 8 = 6 \quad (\text{극소})$

극솟값 $\displaystyle h(1) = 6 > 0$이므로, $\displaystyle h(x)$의 그래프는 $\displaystyle x$축 위에 극솟값이 있어요. 따라서 $\displaystyle h(x) = 0$은 $\displaystyle x < -1$ 영역에서 단 하나의 실근 $\displaystyle x = a$를 가져요.

Step 2. 절댓값 함수 $\displaystyle f(x) = \left|h(x)\right|$ 구성

$\displaystyle h(x) < 0$인 영역은 $\displaystyle x < a$뿐이에요. 따라서:

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그래프 개형: $\displaystyle x = a$에서 $\displaystyle f(a) = 0$이고, $\displaystyle x < a$에서는 $\displaystyle -h(x)$가 아래로 볼록하게 증가하며, $\displaystyle x \geq a$에서는 $\displaystyle h(x)$ 그래프 그대로예요. 극대 $\displaystyle f(-1) = 10$, 극소 $\displaystyle f(1) = 6$은 그대로 유지돼요.

Step 3. 최댓값 함수 $\displaystyle g(t)$ 구간별 정의

닫힌구간 $\displaystyle [t, t+2]$에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값을 구해요. 구간 길이가 2이므로, 구간의 위치에 따라 최댓값이 달라져요.

핵심 관찰: $\displaystyle f(x)$의 극대점 $\displaystyle x = -1$에서 $\displaystyle f(-1) = 10$이 가장 큰 극값이에요. 구간 $\displaystyle [t, t+2]$가 $\displaystyle x = -1$을 포함하면 최댓값은 10이에요.

$\displaystyle x = -1$이 구간에 포함되려면 $\displaystyle t \leq -1 \leq t+2$, 즉 $\displaystyle -3 \leq t \leq -1$이에요.

경우 1: $\displaystyle t < -3$일 때

구간 $\displaystyle [t, t+2]$의 오른쪽 끝 $\displaystyle t+2 < -1$이에요. 이 영역에서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x = -1$에서 극대를 가지므로 $\displaystyle x$가 $\displaystyle -1$에 가까울수록 값이 커요. 따라서 최댓값은 오른쪽 끝점:

$\displaystyle g(t) = f(t+2) = -(t+2)^3 + 3(t+2) - 8 = -t^3 - 6t^2 - 9t - 10$

잠깐, $\displaystyle t+2 < -1$이면 $\displaystyle t+2 < a$ (왜냐하면 $\displaystyle a < -1$)인지 확인이 필요해요.

실제로 $\displaystyle a$의 정확한 위치를 생각하면, $\displaystyle h(a) = 0$이고 $\displaystyle a < -1$이에요. $\displaystyle t < -3$이면 $\displaystyle t+2 < -1$인데, $\displaystyle t+2$와 $\displaystyle a$의 대소 관계에 따라 다를 수 있어요. 그런데 해설에서 $\displaystyle g(t) = -t^3 + 3t - 8$ (for $\displaystyle t < -3$)이라고 되어 있으므로, 이는 $\displaystyle g(t) = f(t) = -h(t)$에 해당해요. 즉, 최댓값이 왼쪽 끝점 $\displaystyle t$에서 달성되는 거예요.

해설을 따라 정리하면:

$$$$

여기서 마지막 구간을 전개하면:

$\displaystyle (t+2)^3 - 3(t+2) + 8 = t^3 + 6t^2 + 12t + 8 - 3t - 6 + 8 = t^3 + 6t^2 + 9t + 10$

$\displaystyle b$는 구간 $\displaystyle [t, t+2]$에서 $\displaystyle f(t) = f(t+2)$가 되는 경계값, 즉 왼쪽 끝점의 최댓값에서 오른쪽 끝점의 최댓값으로 전환되는 점이에요.

Step 4. 각 경계에서 미분가능성 판정

$\displaystyle t = -3$에서:

$\displaystyle \lim_{t \to -3^-} \frac{g(t) - g(-3)}{t - (-3)} = \lim_{t \to -3^-} \frac{(-t^3 + 3t - 8) - 10}{t + 3}$

$\displaystyle = \lim_{t \to -3^-} \frac{-t^3 + 3t - 18}{t + 3} = \lim_{t \to -3^-} \frac{-(t+3)(t^2 - 3t + 6)}{t + 3} = \lim_{t \to -3^-} -(t^2 - 3t + 6) = -(9 + 9 + 6) = -24$

$\displaystyle \lim_{t \to -3^+} \frac{g(t) - g(-3)}{t - (-3)} = \lim_{t \to -3^+} \frac{10 - 10}{t + 3} = 0$

좌미분계수 $\displaystyle = -24 \neq 0 =$ 우미분계수이므로, $\displaystyle t = -3$에서 미분가능하지 않아요.

$\displaystyle t = -1$에서:

$\displaystyle \lim_{t \to -1^-} \frac{g(t) - g(-1)}{t - (-1)} = \lim_{t \to -1^-} \frac{10 - 10}{t + 1} = 0$

$\displaystyle \lim_{t \to -1^+} \frac{g(t) - g(-1)}{t - (-1)} = \lim_{t \to -1^+} \frac{(t^3 - 3t + 8) - 10}{t + 1} = \lim_{t \to -1^+} \frac{t^3 - 3t - 2}{t + 1}$

$\displaystyle t^3 - 3t - 2 = (t+1)(t^2 - t - 2) = (t+1)^2(t-2)$이므로:

$\displaystyle \lim_{t \to -1^+} \frac{(t+1)^2(t-2)}{t+1} = \lim_{t \to -1^+} (t+1)(t-2) = 0 \cdot (-3) = 0$

좌미분계수 $\displaystyle = 0 =$ 우미분계수이므로, $\displaystyle t = -1$에서 미분가능해요.

$\displaystyle t = b$에서:

$\displaystyle \lim_{t \to b^-} \frac{g(t) - g(b)}{t - b} = \lim_{t \to b^-} \frac{(t^3 - 3t + 8) - (b^3 - 3b + 8)}{t - b} = \lim_{t \to b^-} (t^2 + bt + b^2 - 3) = 3b^2 - 3$

$\displaystyle \lim_{t \to b^+} \frac{g(t) - g(b)}{t - b} = \lim_{t \to b^+} \frac{(t^3 + 6t^2 + 9t + 10) - (b^3 + 6b^2 + 9b + 10)}{t - b}$

$\displaystyle = \lim_{t \to b^+} (t^2 + (b+6)t + b^2 + 6b + 9) = 3b^2 + 12b + 9$

좌미분계수와 우미분계수가 같으려면 $\displaystyle 3b^2 - 3 = 3b^2 + 12b + 9$, 즉 $\displaystyle 12b = -12$, $\displaystyle b = -1$이 되어야 하는데, $\displaystyle b > -1$이므로 불가능해요. 따라서 $\displaystyle t = b$에서 미분가능하지 않아요.

Step 5. $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ 결정 및 답 계산

미분가능하지 않은 점이 정확히 $\displaystyle t = -3$과 $\displaystyle t = b$뿐이므로:

$\displaystyle \alpha = -3, \quad \beta = b$

$\displaystyle b$를 구해야 해요. $\displaystyle t = b$에서 $\displaystyle g(t)$가 연속이므로:

$\displaystyle b^3 - 3b + 8 = b^3 + 6b^2 + 9b + 10$

$\displaystyle -3b + 8 = 6b^2 + 9b + 10$

$\displaystyle 6b^2 + 12b + 2 = 0$

$\displaystyle 3b^2 + 6b + 1 = 0$

$\displaystyle b = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}$

$\displaystyle b > -1$이므로 $\displaystyle b = \dfrac{-3 + \sqrt{6}}{3}$이에요.

$\displaystyle \alpha\beta = (-3) \times \frac{-3 + \sqrt{6}}{3} = \frac{9 - 3\sqrt{6}}{3} = 3 - \sqrt{6}$

$\displaystyle \alpha\beta = m + n\sqrt{6}$이므로 $\displaystyle m = 3$, $\displaystyle n = -1$이에요.

$\displaystyle \therefore$ 답: $\displaystyle m + n = 3 + (-1) = 2$

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별해

[핵심 관찰을 이용한 빠른 접근]

$\displaystyle h(x)$의 극솟값이 $\displaystyle 6 > 0$이므로, $\displaystyle h(x) = 0$은 실근이 $\displaystyle x < -1$에 딱 하나뿐이에요. 이 사실을 빨리 파악하면 절댓값 처리가 간단해져요.

$\displaystyle g(t)$의 경계점 후보는 $\displaystyle t = -3$, $\displaystyle t = -1$, $\displaystyle t = b$의 세 곳뿐이에요. "정확히 두 곳에서만 미분가능하지 않다"라는 조건에서, $\displaystyle t = -3$ (좌미분계수 $\displaystyle -24$, 우미분계수 $\displaystyle 0$)과 $\displaystyle t = b$ (좌·우 미분계수가 구조적으로 다름)가 불가능하고, $\displaystyle t = -1$에서만 미분가능하다는 것을 $\displaystyle t^3 - 3t - 2 = (t+1)^2(t-2)$의 이중근 구조로 즉시 확인할 수 있어요.

이후 $\displaystyle b$는 연속 조건 $\displaystyle f(b) = f(b+2)$에서 이차방정식 하나만 풀면 되므로, 핵심 관찰을 먼저 하면 계산량을 줄일 수 있어요.

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오답 분석

주관식 문항이므로 선지 분포는 없지만, 흔한 오답 패턴을 정리해요.

함정 포인트:

• $\displaystyle t = -1$에서의 미분가능성 함정: 구간별 정의 함수의 경계점이면 대부분 미분가능하지 않다고 속단하기 쉬워요. 하지만 $\displaystyle t^3 - 3t - 2 = (t+1)^2(t-2)$에서 $\displaystyle (t+1)$이 이중근이기 때문에 좌·우 미분계수가 모두 0이 돼요. 이 부분을 놓치면 미분 불가능한 점이 3개가 되어 조건 ③과 모순이 생겨요.

• $\displaystyle b$의 근 선택 실수: $\displaystyle 3b^2 + 6b + 1 = 0$에서 두 근 중 $\displaystyle b > -1$인 근을 선택해야 해요. $\displaystyle \frac{-3 - \sqrt{6}}{3} \approx -1.82 < -1$이므로 탈락하는데, 조건을 꼼꼼히 확인하지 않으면 잘못된 근을 선택할 수 있어요.

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유사 기출

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핵심 정리

• 절댓값 함수의 미분가능성: $\displaystyle f(x) = \left|h(x)\right|$에서 $\displaystyle h(a) = 0$인 점 $\displaystyle x = a$가 절댓값 경계예요. 이 경계에서 $\displaystyle h'(a) \neq 0$이면 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x = a$에서 미분가능하지 않아요.
• 구간 최댓값 함수 $\displaystyle g(t)$의 경계점: 닫힌구간이 이동할 때, 최댓값을 주는 점이 "끝점 vs 극대점"으로 바뀌는 경계에서 $\displaystyle g(t)$의 미분가능성이 깨질 수 있어요. 좌·우 미분계수를 반드시 인수분해로 계산하세요.
• 이중근 구조와 미분가능성: $\displaystyle (t+1)^2$ 같은 이중근 인수가 있으면 좌·우 미분계수가 같아질 수 있어요. "경계점 = 미분 불가능"으로 속단하면 안 돼요.

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출처: 서울특별시교육청 (2024학년도 3월 전국연합학력평가)