2023학년도 3월 전국연합학력평가 수학 22번

출처: 서울특별시교육청

1. 출제 의도

절댓값이 포함된 합성함수의 미분가능성 조건을 분석하고, 사차함수의 극값 구조를 추론하여 함수를 결정하는 능력을 평가해요. 조건을 종합적으로 해석하여 경우를 분류하고, 대칭성을 활용한 함수 결정까지 도달해야 하는 고난도 추론 문항이에요.

2. 조건 분석

주어진 조건 정리

조건 간 관계

• 조건 (가)와 (나)는 함께 사용해야 해요. (나)만으로는 극솟값이 같은지 다른지 구분할 수 없고, (가)가 있어야 극솟값이 동일한 대칭형임을 확정할 수 있어요.
• $\displaystyle f(2) = 4$와 $\displaystyle f'(2) > 0$은 종속 관계예요. $\displaystyle f(2) = 4$가 극댓값과 같으므로 $\displaystyle x = 2$가 극대점일 수도 있지만, $\displaystyle f'(2) > 0$ 조건이 이를 배제하고 "$\displaystyle f(x) = 4$의 가장 큰 실근이 2"라는 정보를 줘요.
• "이 조건이 없으면?": $\displaystyle f'(2) > 0$ 조건이 없으면 $\displaystyle x = 2$가 극대점인 경우도 가능해져서 평행이동 방향이 확정되지 않아요.

3. 정석 풀이

Step 1. 분모 $\displaystyle |x - k|$ 처리 — 극한 존재 조건 도출

$\displaystyle \lim_{x \to k} \dfrac{g(x) - g(k)}{|x - k|}$의 값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 해요.

좌극한 ($\displaystyle x \to k-$일 때 $\displaystyle |x - k| = -(x - k)$):

$\displaystyle \lim_{x \to k-} \frac{g(x) - g(k)}{|x - k|} = \lim_{x \to k-} \frac{g(x) - g(k)}{x - k} \times (-1)$

우극한 ($\displaystyle x \to k+$일 때 $\displaystyle |x - k| = x - k$):

$\displaystyle \lim_{x \to k+} \frac{g(x) - g(k)}{|x - k|} = \lim_{x \to k+} \frac{g(x) - g(k)}{x - k} \times 1$

이 둘이 같으려면 다음 두 가지 중 하나를 만족해야 해요:

(A) $\displaystyle \lim_{x \to k} \dfrac{g(x) - g(k)}{x - k} = 0$   즉, $\displaystyle g'(k) = 0$

(B) 좌미분계수와 우미분계수의 절댓값이 같고 부호가 반대

왜 이렇게 되나요? 좌극한에는 $\displaystyle (-1)$이 곱해지고 우극한에는 $\displaystyle (+1)$이 곱해지기 때문에, 두 값이 같으려면 원래의 미분계수가 0이거나, 좌·우 미분계수가 부호만 반대여야 해요.

Step 2. 조건 (A), (B)를 $\displaystyle f(x)$로 번역

$\displaystyle g(x) = |f(x) - t|$이므로:

• 조건 (A): $\displaystyle g'(k) = 0$ → $\displaystyle f'(k) = 0$ (즉, $\displaystyle k$는 $\displaystyle f(x)$의 극점)
• 조건 (B): $\displaystyle g(k) = 0$ → $\displaystyle f(k) = t$ (즉, $\displaystyle y = f(x)$와 $\displaystyle y = t$의 교점)

$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle h(t) =$ ($\displaystyle f'(k) = 0$인 $\displaystyle k$의 개수) $\displaystyle +$ ($\displaystyle f(k) = t$인 $\displaystyle k$의 개수)

단, $\displaystyle f'(k) = 0$이면서 동시에 $\displaystyle f(k) = t$인 $\displaystyle k$는 중복 계산하지 않아요.

Step 3. $\displaystyle f'(x) = 0$의 실근 개수별 경우 분류

사차함수의 도함수 $\displaystyle f'(x)$는 삼차식이므로 실근이 1개 또는 3개예요.

(ⅰ) $\displaystyle f'(x) = 0$의 실근이 1개인 경우

$\displaystyle f(x)$는 극값이 1개뿐이에요. 이 경우 $\displaystyle h(t)$의 불연속점도 1개뿐이므로 조건 (나)의 "불연속점이 $\displaystyle t = -60$과 $\displaystyle t = 4$ 두 곳"을 만족시키지 못해요.

→ 소거

(ⅱ) $\displaystyle f'(x) = 0$의 실근이 3개 (극대 1개, 극소 2개)이고 두 극솟값이 서로 다른 경우

극대점에서의 함숫값, 큰 극솟값, 작은 극솟값 — 이렇게 3개의 서로 다른 극값이 존재하면 $\displaystyle h(t)$의 불연속점이 3개 생겨요.

→ 소거

(ⅲ) $\displaystyle f'(x) = 0$의 실근이 3개이고 두 극솟값이 같은 경우

두 극솟값이 같으면 불연속점이 2개(극대·극소)만 생겨요.

• 극솟값 $\displaystyle = -60$, 극댓값 $\displaystyle = 4$로 놓으면 조건 (나) 충족
• $\displaystyle t$가 $\displaystyle 4$보다 약간 클 때: $\displaystyle y = t$ 수평선이 극대점 위를 지나므로 $\displaystyle f(x) = t$의 실근이 2개, $\displaystyle f'(x) = 0$의 실근이 3개 → $\displaystyle h(t) = 2 + 3 = 5$

$\displaystyle \therefore \lim_{t \to 4+} h(t) = 5 \quad \checkmark \text{ (조건 (가) 충족)}$

→ 이 경우만 생존! $\displaystyle h(4) = 5$

Step 4. 대칭 사차함수 설정

두 극솟값이 같은 사차함수는 $\displaystyle y$축 대칭 형태예요. 극대점을 원점으로 평행이동한 함수를 $\displaystyle p(x)$라 놓으면:

$\displaystyle p(x) = x^4 - a^2 x^2 \quad (a > 0)$

왜 이 형태인가요? $\displaystyle p(0) = 0$이고 $\displaystyle p'(0) = 0$이므로 $\displaystyle x^2$을 인수로 가지고, $\displaystyle y$축 대칭이므로 짝수 차수 항만 남아요.

Step 5. $\displaystyle a$ 결정

극솟값을 구해요:

$\displaystyle p'(x) = 4x^3 - 2a^2 x = 2x(2x^2 - a^2) = 0$

$\displaystyle x = 0, \quad x = \pm\frac{a}{\sqrt{2}}$

극솟값:

$\displaystyle p\!\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^4 - a^2\!\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{2} = -\frac{a^4}{4}$

극솟값이 $\displaystyle -60$이고 극댓값(원점)이 $\displaystyle 0$이므로, 실제 극솟값과 극댓값의 차이는:

$\displaystyle -\frac{a^4}{4} = -(극댓값 - 극솟값) = -(4 - (-60)) = -64$

$\displaystyle a^4 = 256 = 4^4 \quad \therefore a = 4$

$\displaystyle p(x) = x^4 - 16x^2 = x^2(x - 4)(x + 4)$

Step 6. 평행이동으로 $\displaystyle f(x)$ 결정

$\displaystyle p(x) = 0$의 근: $\displaystyle x = 0$ (중근), $\displaystyle x = \pm 4$

극대점은 $\displaystyle x = 0$이고 $\displaystyle p(0) = 0$이에요. $\displaystyle f(x)$에서 극댓값이 $\displaystyle 4$이므로 $\displaystyle y$축 방향으로 $\displaystyle +4$만큼 이동해야 해요.

$\displaystyle f(2) = 4$이고 $\displaystyle f'(2) > 0$이므로, $\displaystyle x = 2$는 극대점이 아니라 $\displaystyle f(x) = 4$의 가장 큰 실근이에요. $\displaystyle p(x) = 0$의 가장 큰 실근이 $\displaystyle x = 4$이므로:

$\displaystyle 4 + (\text{$x$축 이동량}) = 2 \quad \therefore \text{$x$축 이동량} = -2$

따라서:

$\displaystyle f(x) = p(x + 2) + 4 = (x+2)^2(x+2-4)(x+2+4) + 4$

$\displaystyle \boxed{f(x) = (x+2)^2(x-2)(x+6) + 4}$

Step 7. 최종 계산

$\displaystyle f(4) = (4+2)^2(4-2)(4+6) + 4 = 36 \times 2 \times 10 + 4 = 720 + 4 = 724$

$\displaystyle h(4) = 5 \quad \text{(Step 3에서 확인)}$

$\displaystyle \therefore f(4) + h(4) = 724 + 5 = \boxed{729}$

4. 별해 — 경우 소거법으로 빠르게 접근

정석 풀이의 Step 3를 역순으로 진행하는 전략이에요.

1. $\displaystyle h(t)$의 불연속점이 정확히 2개 → $\displaystyle f'(x) = 0$의 실근이 3개이면서 두 극솟값이 동일한 경우만 가능
2. 극솟값 $\displaystyle = -60$, 극댓값 $\displaystyle = 4$ 즉시 확정
3. 대칭 사차함수 $\displaystyle p(x) = x^4 - a^2 x^2$에서 극솟값 $\displaystyle = -\dfrac{a^4}{4} = -64$ → $\displaystyle a = 4$를 한 줄로 도출
4. $\displaystyle f(2) = 4$, $\displaystyle f'(2) > 0$ 조건으로 평행이동 결정

장점: 경우 분류에 시간을 쓰지 않고 바로 조건에서 결론을 역추론해요. 단점: "왜 다른 경우가 안 되는지"를 설명하기 어려워서 서술형에서는 감점 위험이 있어요.

5. 오답 분석

이 문항은 주관식(단답형)이므로 선지별 분석 대신 대표적 실수 유형을 정리해요.

6. 유사 기출

7. 핵심 정리

• 분모가 $\displaystyle |x - k|$인 극한은 일반 미분계수와 달라요. 좌극한에 $\displaystyle (-1)$이 곱해지므로 극한이 존재하려면 $\displaystyle g'(k) = 0$이거나 $\displaystyle g(k) = 0$이어야 해요.
• 대칭 사차함수 $\displaystyle p(x) = x^4 - a^2 x^2$의 극솟값은 $\displaystyle -\dfrac{a^4}{4}$로 즉시 계산할 수 있어요. 이 공식을 기억하면 계산 시간을 크게 줄일 수 있어요.
• $\displaystyle h(t)$의 불연속점 = $\displaystyle f(x)$의 극값: 수평선 $\displaystyle y = t$가 극값을 지날 때 교점 수가 변하면서 $\displaystyle h(t)$가 불연속이 돼요. 불연속점의 개수로 극값의 구조를 역추론하는 것이 이 유형의 핵심이에요.

---

출처: 2023학년도 education_office 수학 22번, 출제기관: 한국교육과정평가원 본 콘텐츠의 문항 및 해설 저작권은 해당 출제기관에 있으며, 교육 목적의 분석입니다.