2024학년도 수학 30번 문항 분석

출처: 서울특별시교육청 (2024학년도 3월 전국연합학력평가)

1. 출제 의도

여러 조건이 동시에 주어진 함수의 개수를 구할 때, 조건 간 관계를 분석하여 유효한 경우를 분류하고 각 경우에서 중복조합을 활용하여 정확하게 셀 수 있는 능력을 평가해요.

2. 조건 분석

문제 재확인

집합 $\displaystyle X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$에 대하여 함수 $\displaystyle f : X \to X$가 다음 세 조건을 만족시켜야 해요.

조건 간 관계

• (가)와 (다)는 강하게 종속해요. $\displaystyle a, b$가 모두 $\displaystyle \{1, 2, 3\}$에 속하면 비감소 조건과 swap 조건이 충돌하거든요.
• (나)와 (다)도 종속해요. $\displaystyle f(4)$나 $\displaystyle f(5)$가 swap에 관여하면 (나)의 부등식이 값을 제한해요.
• (가)가 없으면: $\displaystyle f(1), f(2), f(3)$이 자유로워져 경우의 수가 폭발해요.
• (다)가 없으면: swap 조건 없이 비감소함수 + (나)만 세면 되므로 훨씬 쉬워져요.

3. 정석 풀이

Step 1: swap 쌍 $\displaystyle (a, b)$ 후보 전수 조사

조건 (다)에서 $\displaystyle a \neq b$이므로, $\displaystyle a < b$로 놓으면 가능한 쌍은 $\displaystyle \binom{5}{2} = 10$가지예요. 각각이 (가), (나)와 양립하는지 따져볼게요.

$\displaystyle a, b \in \{1, 2, 3\}$인 경우 — 모두 불가능

• $\displaystyle (1, 2)$: $\displaystyle f(1) = 2$, $\displaystyle f(2) = 1$ → (가)에서 $\displaystyle f(1) \leq f(2)$이므로 $\displaystyle 2 \leq 1$ 모순
• $\displaystyle (1, 3)$: $\displaystyle f(1) = 3$, $\displaystyle f(3) = 1$ → $\displaystyle f(1) \leq f(2) \leq f(3)$에서 $\displaystyle 3 \leq f(2) \leq 1$ 모순
• $\displaystyle (2, 3)$: $\displaystyle f(2) = 3$, $\displaystyle f(3) = 2$ → $\displaystyle f(2) \leq f(3)$에서 $\displaystyle 3 \leq 2$ 모순

포인트: 비감소 조건 아래에서 $\displaystyle a < b$인데 $\displaystyle f(a) = b > a = f(b)$이면 $\displaystyle f(a) > f(b)$가 되어 항상 모순이에요.

$\displaystyle a \in \{1, 2, 3\}$, $\displaystyle b \in \{4, 5\}$인 경우 — 일부 가능

• $\displaystyle (1, 4)$: $\displaystyle f(4) = 1$ → (나)에서 $\displaystyle f(5) < f(4) = 1$이고 $\displaystyle f(5) > 1$이므로 모순
• $\displaystyle (1, 5)$: $\displaystyle f(5) = 1$ → (나)에서 $\displaystyle 1 < f(5) = 1$ 모순
• $\displaystyle (2, 4)$: $\displaystyle f(4) = 2$ → (나)에서 $\displaystyle 1 < f(5) < 2$, 정수 없으므로 모순
• $\displaystyle (2, 5)$: $\displaystyle f(2) = 5$, $\displaystyle f(5) = 2$ → (나)에서 $\displaystyle 1 < 2 < f(4)$ ✓ → 유효
• $\displaystyle (3, 4)$: $\displaystyle f(3) = 4$, $\displaystyle f(4) = 3$ → (나)에서 $\displaystyle 1 < f(5) < 3$, $\displaystyle f(5) = 2$ ✓ → 유효
• $\displaystyle (3, 5)$: $\displaystyle f(3) = 5$, $\displaystyle f(5) = 3$ → (나)에서 $\displaystyle 1 < 3 < f(4)$ ✓ → 유효

$\displaystyle a, b \in \{4, 5\}$인 경우

• $\displaystyle (4, 5)$: $\displaystyle f(4) = 5$, $\displaystyle f(5) = 4$ → (나)에서 $\displaystyle 1 < 4 < 5$ ✓ → 유효

Step 2: 유효한 4가지 경우 각각 세기

중복 확인: 네 경우가 서로 겹치지 않음을 먼저 확인해요.

• 각 경우에서 $\displaystyle f(5)$의 값이 모두 다르거나(2, 2, 3, 4) $\displaystyle f(3)$ 또는 $\displaystyle f(4)$가 다르므로, 어떤 함수도 두 경우에 동시에 속하지 않아요. (아래에서 자세히 확인)

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경우 ①: $\displaystyle (a, b) = (2, 5)$ → $\displaystyle f(2) = 5$, $\displaystyle f(5) = 2$

(가)에서 $\displaystyle f(1) \leq 5 \leq f(3)$이므로 $\displaystyle f(3) \geq 5$. $\displaystyle f(3) \in X$이므로 $\displaystyle f(3) = 5$.

(나)에서 $\displaystyle 1 < 2 < f(4)$이므로 $\displaystyle f(4) \in \{3, 4, 5\}$.

남은 자유 변수: $\displaystyle f(1) \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ (5가지), $\displaystyle f(4) \in \{3, 4, 5\}$ (3가지)

$\displaystyle \text{경우 ①} = 5 \times 3 = 15$

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경우 ②: $\displaystyle (a, b) = (3, 4)$ → $\displaystyle f(3) = 4$, $\displaystyle f(4) = 3$

(나)에서 $\displaystyle 1 < f(5) < 3$이므로 $\displaystyle f(5) = 2$.

(가)에서 $\displaystyle f(1) \leq f(2) \leq 4$이므로 $\displaystyle (f(1), f(2))$는 $\displaystyle \{1, 2, 3, 4\}$에서 비감소 순서쌍이에요.

비감소 순서쌍의 개수 = 중복조합 $\displaystyle {}_{4}H_{2} = \binom{4 + 2 - 1}{2} = \binom{5}{2} = 10$

$\displaystyle \text{경우 ②} = 10$

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경우 ③: $\displaystyle (a, b) = (3, 5)$ → $\displaystyle f(3) = 5$, $\displaystyle f(5) = 3$

(나)에서 $\displaystyle 1 < 3 < f(4)$이므로 $\displaystyle f(4) \in \{4, 5\}$.

(가)에서 $\displaystyle f(1) \leq f(2) \leq 5$이므로 $\displaystyle (f(1), f(2))$는 $\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 비감소 순서쌍이에요.

비감소 순서쌍의 개수 = $\displaystyle {}_{5}H_{2} = \binom{6}{2} = 15$

$\displaystyle \text{경우 ③} = 15 \times 2 = 30$

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경우 ④: $\displaystyle (a, b) = (4, 5)$ → $\displaystyle f(4) = 5$, $\displaystyle f(5) = 4$

(나)에서 $\displaystyle 1 < 4 < 5$ ✓ → 추가 제약 없음.

(가)에서 $\displaystyle f(1) \leq f(2) \leq f(3)$이므로 $\displaystyle (f(1), f(2), f(3))$은 $\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 비감소 순서쌍 3개예요.

비감소 순서쌍의 개수 = $\displaystyle {}_{5}H_{3} = \binom{7}{3} = 35$

$\displaystyle \text{경우 ④} = 35$

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Step 3: 중복 없음 확인 및 합산

①과 ②: $\displaystyle f(3) = 5$ vs $\displaystyle f(3) = 4$ → 겹침 없음 ①과 ③: $\displaystyle f(5) = 2$ vs $\displaystyle f(5) = 3$ → 겹침 없음 ①과 ④: $\displaystyle f(5) = 2$ vs $\displaystyle f(5) = 4$ → 겹침 없음 ②와 ③: $\displaystyle f(3) = 4$ vs $\displaystyle f(3) = 5$ → 겹침 없음 ②와 ④: $\displaystyle f(4) = 3$ vs $\displaystyle f(4) = 5$ → 겹침 없음 ③과 ④: $\displaystyle f(5) = 3$ vs $\displaystyle f(5) = 4$ → 겹침 없음

$\displaystyle \therefore \; 15 + 10 + 30 + 35 = \boxed{90}$

4. 별해 (역추적 풀이)

조건 (나)의 $\displaystyle 1 < f(5) < f(4)$에서 출발하여 $\displaystyle (f(5), f(4))$의 값 쌍을 먼저 고정하고, 각각에 대해 조건 (다)를 만족하는 swap 쌍을 찾는 방식이에요.

$\displaystyle (f(5), f(4))$의 가능한 값: $\displaystyle (2,3)$, $\displaystyle (2,4)$, $\displaystyle (2,5)$, $\displaystyle (3,4)$, $\displaystyle (3,5)$, $\displaystyle (4,5)$

각 쌍에서 조건 (다)의 swap이 가능한지 따지면, 결국 같은 4가지 경우로 수렴해요. 정석 풀이와 비교하면:

시험장에서는 **정석 풀이(swap 쌍 분류 → 나머지 세기)**가 더 체계적이에요.

5. 오답 분석

주관식이므로 자주 나오는 오답과 그 원인을 정리할게요.

구체적 함정 5가지

1. $\displaystyle a = b$ 포함 실수: 조건 (다)에서 "$\displaystyle \text{서로 다른}$ 두 원소"임을 놓쳐 $\displaystyle a = b$인 경우($\displaystyle f(a) = a$)를 세면 안 돼요.

2. 비감소 조건과 swap의 충돌 간과: $\displaystyle \{1, 2, 3\}$ 내부의 swap 쌍은 (가)와 항상 모순이에요. 이걸 빠뜨리면 불가능한 경우를 포함하게 돼요.

3. $\displaystyle {}_{n}H_{r}$과 $\displaystyle {}_{n}C_{r}$ 혼동: $\displaystyle {}_{3}H_{3} = \binom{5}{3} = 10$인데, $\displaystyle {}_{3}C_{3} = 1$로 계산하면 결과가 크게 달라져요.

4. 경우 분류 후 합산 누락: 4가지 경우 중 하나를 빼먹기 쉬워요. 특히 $\displaystyle (2, 5)$ 쌍은 놓치기 쉬운 경우예요.

5. 중복 계산: 겹침이 없다는 것을 확인하지 않고, 일부 경우를 두 번 세는 실수예요.

6. 유사 기출

7. 핵심 정리

• 비감소함수의 개수 = 중복조합: $\displaystyle \{1, \ldots, n\}$에서 $\displaystyle k$개를 비감소로 뽑는 경우의 수는 $\displaystyle {}_{n}H_{k} = \binom{n+k-1}{k}$
• swap 쌍 전수 조사가 핵심: $\displaystyle f(a) = b$, $\displaystyle f(b) = a$를 만족하는 $\displaystyle (a, b)$ 후보를 모두 나열한 뒤 다른 조건과 양립 여부를 따지는 것이 이 유형의 정석이에요.
• 자주 틀리는 포인트: $\displaystyle \{1, 2, 3\}$ 내부 swap은 비감소 조건과 반드시 충돌하므로 불가능, $\displaystyle {}_nH_r \neq {}_nC_r$ 혼동 주의!