2023학년도 수학 38번 문항 분석

1. 출제 의도

등비수열의 극한으로 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle |x|$의 크기에 따라 경우를 나누어 구한 뒤, 이를 닮음변환(스케일링)한 함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프를 해석하여 직선 $\displaystyle y = t$와의 교점 존재 여부를 판단하는 능력을 평가해요.

2. 조건 분석

조건 ① $\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{x^{2n+1} - x}{x^{2n} + 1}$

• 수학적 역할: $\displaystyle x^{2n}$은 $\displaystyle |x|$의 크기에 따라 수렴·발산이 결정되므로, $\displaystyle f(x)$를 세 구간($\displaystyle |x| < 1$, $\displaystyle |x| = 1$, $\displaystyle |x| > 1$)으로 나누어 구하도록 유도해요.
• 이 조건이 없으면: $\displaystyle g(x)$의 정의 자체가 성립하지 않아요. $\displaystyle f$의 구조를 파악하는 것이 풀이의 출발점이에요.

조건 ② $\displaystyle 2k - 2 \le |x| < 2k$일 때, $\displaystyle g(x) = (2k-1) \cdot f\!\left(\dfrac{x}{2k-1}\right)$

• 수학적 역할: $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle (2k-1)$배로 스케일링하여 구간 $\displaystyle [2k-2,\, 2k)$마다 반복하는 함수 $\displaystyle g(x)$를 만들어요. $\displaystyle \dfrac{x}{2k-1}$의 절댓값이 1보다 작은지, 같은지, 큰지에 따라 $\displaystyle g(x)$의 값이 결정돼요.
• 이 조건이 없으면: 단순히 $\displaystyle f(x)$만 분석하면 끝나는 문제가 되어 난이도가 크게 낮아져요.

조건 ③ $\displaystyle 0 < t < 10$인 실수 $\displaystyle t$에 대하여 직선 $\displaystyle y = t$가 $\displaystyle y = g(x)$의 그래프와 만나지 않는 $\displaystyle t$의 합

• 수학적 역할: $\displaystyle g(x)$의 **치역(range)**에 포함되지 않는 양수 값을 찾도록 해요. 그래프를 정확히 그린 뒤 "빈 높이"를 읽어내는 것이 최종 목표예요.
• 이 조건이 없으면: $\displaystyle t$의 범위가 정해지지 않아 답을 특정할 수 없어요.

조건 간 관계

조건 ①→② 는 종속 관계예요. $\displaystyle f(x)$를 먼저 구해야 $\displaystyle g(x)$를 구할 수 있고, $\displaystyle g(x)$의 그래프를 그려야 조건 ③에 답할 수 있어요. 세 조건이 순차적으로 연결되는 구조예요.

3. 정석 풀이

Step 1. $\displaystyle f(x)$ 구하기

$\displaystyle x^{2n}$의 극한은 $\displaystyle |x|$의 크기에 따라 달라져요. 분자·분모를 적절히 변형하여 경우를 나눠요.

경우 (a) $\displaystyle |x| < 1$일 때

$\displaystyle |x| < 1$이면 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x^{2n} = 0$이에요. 분자·분모에서 $\displaystyle x^{2n}$ 항이 모두 사라지므로:

$\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1} - x}{x^{2n} + 1} = \frac{0 - x}{0 + 1} = -x$

경우 (b) $\displaystyle |x| = 1$일 때

$\displaystyle x = \pm 1$이면 $\displaystyle x^{2n} = 1$이에요.

$\displaystyle f(x) = \frac{x \cdot 1 - x}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

왜 이렇게 되나요? $\displaystyle x^{2n+1} = x \cdot x^{2n} = x \cdot 1 = x$이므로 분자가 $\displaystyle x - x = 0$이 돼요.

경우 (c) $\displaystyle |x| > 1$일 때

$\displaystyle |x| > 1$이면 $\displaystyle x^{2n} \to \infty$이므로, 분자·분모를 $\displaystyle x^{2n}$으로 나눠요:

$\displaystyle f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x - x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{2n}}{1 + \left(\frac{1}{x}\right)^{2n}} = \frac{x - 0}{1 + 0} = x$

$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle f(x)$의 최종 형태:

$$$$

Step 2. $\displaystyle g(x)$ 구하기

자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle 2k-2 \le |x| < 2k$인 구간에서 $\displaystyle g(x) = (2k-1) \cdot f\!\left(\dfrac{x}{2k-1}\right)$이에요.

핵심은 $\displaystyle \left|\dfrac{x}{2k-1}\right|$의 크기를 판단하는 거예요.

(ⅰ) $\displaystyle 2k-2 \le |x| < 2k-1$일 때

$\displaystyle \left|\frac{x}{2k-1}\right| < 1 \quad \Longrightarrow \quad f\!\left(\frac{x}{2k-1}\right) = -\frac{x}{2k-1}$

$\displaystyle \therefore\; g(x) = (2k-1) \times \left(-\frac{x}{2k-1}\right) = -x$

왜 $\displaystyle \left|\dfrac{x}{2k-1}\right| < 1$인가요? $\displaystyle |x| < 2k-1$이면 $\displaystyle \dfrac{|x|}{2k-1} < 1$이니까요.

(ⅱ) $\displaystyle |x| = 2k-1$일 때

$\displaystyle \left|\frac{x}{2k-1}\right| = 1 \quad \Longrightarrow \quad f\!\left(\frac{x}{2k-1}\right) = 0$

$\displaystyle \therefore\; g(x) = (2k-1) \times 0 = 0$

(ⅲ) $\displaystyle 2k-1 < |x| < 2k$일 때

$\displaystyle \left|\frac{x}{2k-1}\right| > 1 \quad \Longrightarrow \quad f\!\left(\frac{x}{2k-1}\right) = \frac{x}{2k-1}$

$\displaystyle \therefore\; g(x) = (2k-1) \times \frac{x}{2k-1} = x$

Step 3. $\displaystyle y = g(x)$ 그래프 그리기

위 결과를 구간별로 정리하면:

그래프 개형 설명 ($\displaystyle x \ge 0$ 부분):

• 각 홀수 정수 $\displaystyle x = 1, 3, 5, 7, 9, \ldots$에서 $\displaystyle g(x) = 0$ (그래프가 $\displaystyle x$축을 찍어요)
• 각 짝수 정수 $\displaystyle x = 2, 4, 6, 8, 10, \ldots$ 직전에서 $\displaystyle g(x) \to x$로 올라가다가, 짝수를 넘어서면 $\displaystyle g(x) = -x$로 뒤집혀요
• 결과적으로 V자 톱니 모양이 반복돼요: 홀수 정수에서 0을 찍고, 짝수 정수 근처에서 꼭짓점(양의 최댓값)에 도달해요
• $\displaystyle x < 0$ 부분은 원점 대칭이에요 (홀수 정수에서 역시 0, 짝수 정수 근처에서 음의 최솟값)

$\displaystyle y = g(x)$의 양수 값 범위 (치역):

• $\displaystyle k = 1$: $\displaystyle 1 < x < 2$에서 $\displaystyle g(x) = x$이므로 $\displaystyle g$의 값은 $\displaystyle (1, 2)$ 구간 (열린 구간)
• $\displaystyle k = 2$: $\displaystyle 3 < x < 4$에서 $\displaystyle g(x) = x$이므로 $\displaystyle g$의 값은 $\displaystyle (3, 4)$ 구간
• $\displaystyle k = 3$: $\displaystyle 5 < x < 6$에서 $\displaystyle g(x) = x$이므로 $\displaystyle g$의 값은 $\displaystyle (5, 6)$ 구간
• $\displaystyle k = 4$: $\displaystyle 7 < x < 8$에서 $\displaystyle g(x) = x$이므로 $\displaystyle g$의 값은 $\displaystyle (7, 8)$ 구간
• $\displaystyle k = 5$: $\displaystyle 9 < x < 10$에서 $\displaystyle g(x) = x$이므로 $\displaystyle g$의 값은 $\displaystyle (9, 10)$ 구간

따라서 $\displaystyle y = g(x)$가 양수 값으로 취하는 범위는 $\displaystyle (1,2) \cup (3,4) \cup (5,6) \cup (7,8) \cup (9,10) \cup \cdots$이에요.

Step 4. 직선 $\displaystyle y = t$가 그래프와 만나지 않는 $\displaystyle t$ 찾기

$\displaystyle 0 < t < 10$인 실수 $\displaystyle t$에 대해 $\displaystyle y = t$가 $\displaystyle y = g(x)$와 만나지 않으려면, $\displaystyle t$가 $\displaystyle g(x)$의 치역에 포함되지 않아야 해요.

양수 영역에서 $\displaystyle g(x)$의 치역은 $\displaystyle (1,2) \cup (3,4) \cup (5,6) \cup (7,8) \cup (9,10)$이고, 음수 영역($\displaystyle x < 0$)에서도 $\displaystyle g(x) = -x > 0$인 구간이 있어서 같은 양수 값을 취해요. 또한 $\displaystyle g(x) = 0$인 점도 있으므로 $\displaystyle t = 0$은 만나요.

치역에서 빠지는 양수 값: $\displaystyle \{0\} \cup [2, 3] \cup [4, 5] \cup [6, 7] \cup [8, 9]$의 내부 정수값… 이 아니라, 더 정밀하게 살펴볼게요.

$\displaystyle g(x) = -x$ 구간에서 음수 값을 취하고, $\displaystyle g(x) = x$ 구간에서 양수 값을 취해요. $\displaystyle x < 0$일 때는 대칭이므로:

• $\displaystyle -2 < x < -1$에서 $\displaystyle g(x) = x$이므로 $\displaystyle g$의 값은 $\displaystyle (-2, -1)$ — 음수
• $\displaystyle -1 < x < 0$에서 $\displaystyle g(x) = -x$이므로 $\displaystyle g$의 값은 $\displaystyle (0, 1)$ — 양수!

즉, $\displaystyle x < 0$ 부분에서도 양수 값이 나와요. 전체적으로 정리하면:

$\displaystyle g(x)$가 취하는 양수 값의 전체 합집합:

• $\displaystyle (0, 1)$: $\displaystyle -1 < x < 0$에서 $\displaystyle g(x) = -x \in (0, 1)$
• $\displaystyle (1, 2)$: $\displaystyle 1 < x < 2$에서 $\displaystyle g(x) = x \in (1, 2)$
• $\displaystyle (2, 3)$: $\displaystyle -3 < x < -2$에서 $\displaystyle g(x) = -x \in (2, 3)$
• $\displaystyle (3, 4)$: $\displaystyle 3 < x < 4$에서 $\displaystyle g(x) = x \in (3, 4)$
• $\displaystyle (4, 5)$: $\displaystyle -5 < x < -4$에서 $\displaystyle g(x) = -x \in (4, 5)$
• $\displaystyle (5, 6)$: $\displaystyle 5 < x < 6$에서 $\displaystyle g(x) = x \in (5, 6)$
• $\displaystyle (6, 7)$: $\displaystyle -7 < x < -6$에서 $\displaystyle g(x) = -x \in (6, 7)$
• $\displaystyle (7, 8)$: $\displaystyle 7 < x < 8$에서 $\displaystyle g(x) = x \in (7, 8)$
• $\displaystyle (8, 9)$: $\displaystyle -9 < x < -8$에서 $\displaystyle g(x) = -x \in (8, 9)$
• $\displaystyle (9, 10)$: $\displaystyle 9 < x < 10$에서 $\displaystyle g(x) = x \in (9, 10)$

따라서 $\displaystyle g(x)$의 양수 치역은 $\displaystyle (0, 1) \cup (1, 2) \cup (2, 3) \cup \cdots = (0, 10)$에서 정수값 $\displaystyle t = 1, 2, 3, \ldots, 9$만 빠져요.

잠깐! 정수에서 $\displaystyle g(x) = 0$이거나 열린 구간의 끝점이라 도달하지 못해요. 하지만 짝수 정수에서는 어떨까요?

• $\displaystyle t = 2$: $\displaystyle x = 2$일 때 구간 $\displaystyle k = 2$에서 $\displaystyle 2 \le |x| < 4$이고, $\displaystyle g(2) = -2$ (∵ $\displaystyle 2 \le |2| < 3$이므로 $\displaystyle g(2) = -2$). 그리고 $\displaystyle x = -2$일 때 $\displaystyle g(-2) = -(-2) = 2$. $\displaystyle t = 2$는 만나요!
• 마찬가지로 $\displaystyle t = 4$: $\displaystyle x = -4$일 때 $\displaystyle g(-4) = 4$. 만나요!

결국 짝수 정수 값은 도달 가능해요.

그러면 홀수 정수는요?

• $\displaystyle t = 1$: $\displaystyle g(x) = 1$이 되려면… $\displaystyle x = 1$에서 $\displaystyle g(1) = 0$이고, $\displaystyle x = -1$에서 $\displaystyle g(-1) = 0$. 구간 $\displaystyle (0, 1)$에서 $\displaystyle g(x) = -x \in (0, 1)$이므로 1에 도달하지 못해요(열린 구간). 구간 $\displaystyle (1, 2)$에서 $\displaystyle g(x) = x \in (1, 2)$이므로 역시 1에 도달하지 못해요. $\displaystyle t = 1$은 만나지 않아요!
• $\displaystyle t = 3$: 마찬가지로 $\displaystyle x = 3$에서 $\displaystyle g(3) = 0$, 구간 $\displaystyle (2, 3)$과 $\displaystyle (3, 4)$에서 열린 구간이라 3에 도달 못 해요. 만나지 않아요!

$\displaystyle \therefore$ $\displaystyle 0 < t < 10$에서 $\displaystyle y = t$가 $\displaystyle y = g(x)$와 만나지 않는 $\displaystyle t$는 홀수 정수:

$\displaystyle t = 1, 3, 5, 7, 9$

Step 5. 최종 답

$\displaystyle 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = \boxed{25}$

4. 별해 — 그래프 패턴 인식

$\displaystyle f(x)$의 구조를 보면 $\displaystyle |x| = 1$에서 0이 되고, 그 양쪽에서 $\displaystyle |f(x)| = |x|$인 V자 형태(원점 대칭)예요.

$\displaystyle g(x) = (2k-1) \cdot f\!\left(\dfrac{x}{2k-1}\right)$는 이 V자를 $\displaystyle (2k-1)$배 **닮음변환(스케일링)**한 것이에요. 따라서:

• $\displaystyle f$가 $\displaystyle |x| = 1$에서 0이 되듯, $\displaystyle g$는 $\displaystyle |x| = 2k-1$ (모든 홀수 정수)에서 0이 돼요
• V자의 꼭짓점 높이는 짝수 정수 근방에서 그 짝수 값에 접근하지만 도달하지는 않아요 → 실은 반대편($\displaystyle x < 0$)에서 $\displaystyle g(x) = -x$로 도달하므로 짝수 값은 치역에 포함돼요

결론적으로 $\displaystyle g(x)$의 양수 치역에서 빠지는 값은 모든 양의 홀수 정수뿐이에요.

장점: $\displaystyle f$의 구조와 스케일링의 본질을 파악하면 구간별 계산 없이 빠르게 답에 도달할 수 있어요. 단점: 직관에 의존하므로, 짝수 정수가 치역에 포함되는 이유를 놓치면 실수할 수 있어요.

5. 오답 분석

이 문항은 주관식(단답형)이므로 선지별 분포는 없지만, 자주 발생하는 오답 유형을 정리해요.

6. 유사 기출

7. 핵심 정리

$$$$

이 공식은 등비수열의 극한 문제에서 경우 분류의 출발점이에요. $\displaystyle |x|$와 1의 대소 비교가 핵심이에요.

반드시 기억할 것: 스케일링된 함수 $\displaystyle g(x) = c \cdot f(x/c)$에서는 $\displaystyle f$의 불연속점·영점이 $\displaystyle c$배로 확대돼요. 그래프를 그릴 때 $\displaystyle x > 0$과 $\displaystyle x < 0$ 양쪽 모두 확인해야 치역을 빠뜨리지 않아요. 이 문항에서 짝수 정수가 치역에 포함되는 이유가 바로 $\displaystyle x < 0$ 쪽 때문이에요.

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출처: 2023학년도 education_office 수학 38번, 출제기관: 한국교육과정평가원 본 콘텐츠의 문항 및 해설 저작권은 해당 출제기관에 있으며, 교육 목적의 분석입니다.