2023학년도 수학 30번 문항 분석

1. 출제 의도

비감소함수와 중복조합의 대응 관계를 이해하고, 여사건과 포함-배제 원리를 결합하여 조건을 만족시키는 함수의 개수를 구할 수 있는지 평가하는 문항이에요.

출처: 서울특별시교육청 (2023학년도 3월 전국연합학력평가)

2. 조건 분석

조건 (가): $\displaystyle x_1 < x_2$이면 $\displaystyle f(x_1) \leq f(x_2)$

• 수학적 역할: 함수 $\displaystyle f$가 비감소함수임을 의미해요. 즉, $\displaystyle f(1) \leq f(2) \leq f(3) \leq f(4) \leq f(5)$이에요.
• 풀이에서의 활용: 비감소함수의 개수는 중복조합으로 변환할 수 있어요. $\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 5개를 중복 허용하여 순서 없이 뽑는 것과 같으므로 $\displaystyle {}_{5}H_{5}$로 전체 경우의 수를 구해요.
• 이 조건이 없다면? 단순히 $\displaystyle X \to X$인 함수 전체는 $\displaystyle 5^5 = 3125$개로 폭발적으로 많아져, 조건 (나)만으로는 체계적 풀이가 어려워져요.

조건 (나): $\displaystyle f(2) \neq 1$이고 $\displaystyle f(4) \times f(5) < 20$

• 수학적 역할: 두 개의 독립적인 부등식/부등호 조건이 '그리고(∩)'로 연결되어 있어요.
• 풀이에서의 활용: 직접 세기가 복잡하므로 여사건을 잡아요. 조건 (나)의 부정은 "$\displaystyle f(2) = 1$ 또는 $\displaystyle f(4) \times f(5) \geq 20$"이 되고, '또는(∪)' 구조이므로 포함-배제 원리를 적용해요.
• 이 조건이 없다면? 비감소함수 전체 126개가 답이 되어 문항의 변별력이 사라져요.

조건 간 관계

조건 (가)는 함수의 구조적 제약(비감소)이고, 조건 (나)는 함수값에 대한 수치적 제약이에요. 조건 (가)가 있어야 중복조합 공식을 사용할 수 있고, 그 위에서 조건 (나)를 적용하는 2단계 구조예요.

3. 정석 풀이

Step 1. 조건 (가)를 만족하는 비감소함수의 전체 수

비감소함수 $\displaystyle f : X \to X$는 $\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 5개를 중복 허용하여 택하는 중복조합과 1대1 대응해요.

$\displaystyle {}_{5}H_{5} = {}_{5+5-1}C_{5} = {}_{9}C_{5} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} = 126$

왜? 비감소 수열 $\displaystyle f(1) \leq f(2) \leq \cdots \leq f(5)$를 결정하는 것은, 5개의 값에서 중복을 허용해 5개를 고르는 것과 같아요. 순서가 정해져 있으므로 조합만 세면 돼요.

Step 2. 여사건 설정

조건 (나)를 직접 세는 대신, 조건 (나)의 부정을 세서 전체에서 빼요.

$\displaystyle \text{(나)의 부정} : f(2) = 1 \;\textbf{또는}\; f(4) \times f(5) \geq 20 \quad \cdots\; ①$

포함-배제 원리에 의해:

$\displaystyle |①| = |A| + |B| - |A \cap B|$

여기서 $\displaystyle A$: $\displaystyle f(2) = 1$인 집합, $\displaystyle B$: $\displaystyle f(4) \times f(5) \geq 20$인 집합이에요.

Step 3. (ⅰ) $\displaystyle A$: $\displaystyle f(2) = 1$인 경우

비감소 조건에서 $\displaystyle f(1) \leq f(2) = 1$이므로 $\displaystyle f(1) = 1$이 강제돼요.

왜? $\displaystyle f(1) \leq f(2) = 1$이고, $\displaystyle f(1) \geq 1$ (치역이 $\displaystyle X$)이므로 $\displaystyle f(1) = 1$뿐이에요.

남은 자유도는 $\displaystyle 1 \leq f(3) \leq f(4) \leq f(5) \leq 5$, 즉 $\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 3개를 중복 허용하여 택하는 것이에요.

$\displaystyle {}_{5}H_{3} = {}_{5+3-1}C_{3} = {}_{7}C_{3} = 35$

$\displaystyle \therefore |A| = 35$

Step 4. (ⅱ) $\displaystyle B$: $\displaystyle f(4) \times f(5) \geq 20$인 경우

비감소 조건에서 $\displaystyle f(4) \leq f(5)$이므로, $\displaystyle f(4) \times f(5) \geq 20$을 만족하는 $\displaystyle (f(4), f(5))$ 쌍을 찾아요.

주의: $\displaystyle (3, 5)$는 $\displaystyle 15 < 20$이므로 해당 없고, $\displaystyle (5, 4)$는 비감소 조건 위반이에요. 가능한 쌍은 $\displaystyle (4, 5)$와 $\displaystyle (5, 5)$ 두 가지뿐이에요.

경우 ②-1: $\displaystyle f(4) = 4$, $\displaystyle f(5) = 5$

$\displaystyle 1 \leq f(1) \leq f(2) \leq f(3) \leq 4$에서 $\displaystyle \{1, 2, 3, 4\}$ 중 3개를 중복 허용하여 택해요.

$\displaystyle {}_{4}H_{3} = {}_{6}C_{3} = 20$

경우 ②-2: $\displaystyle f(4) = 5$, $\displaystyle f(5) = 5$

$\displaystyle 1 \leq f(1) \leq f(2) \leq f(3) \leq 5$에서 $\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 중 3개를 중복 허용하여 택해요.

$\displaystyle {}_{5}H_{3} = {}_{7}C_{3} = 35$

$\displaystyle \therefore |B| = 20 + 35 = 55$

Step 5. (ⅲ) $\displaystyle A \cap B$: $\displaystyle f(2) = 1$이고 $\displaystyle f(4) \times f(5) \geq 20$인 경우

$\displaystyle f(1) = f(2) = 1$이 확정되고, 자유 변수는 $\displaystyle f(3)$뿐이에요.

경우 ③-1: $\displaystyle f(4) = 4$, $\displaystyle f(5) = 5$

$\displaystyle 1 \leq f(3) \leq 4$이므로 $\displaystyle f(3) \in \{1, 2, 3, 4\}$

$\displaystyle \text{경우의 수} = 4$

경우 ③-2: $\displaystyle f(4) = 5$, $\displaystyle f(5) = 5$

$\displaystyle 1 \leq f(3) \leq 5$이므로 $\displaystyle f(3) \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$

$\displaystyle \text{경우의 수} = 5$

$\displaystyle \therefore |A \cap B| = 4 + 5 = 9$

Step 6. 포함-배제 적용 및 최종 답

$\displaystyle |①| = |A| + |B| - |A \cap B| = 35 + 55 - 9 = 81$

$\displaystyle \boxed{f\text{의 개수} = 126 - 81 = 45}$

4. 별해 — 직접 세기 (경우 분류)

여사건 대신, 조건 (나)를 직접 만족하는 경우를 세는 방법이에요.

$\displaystyle f(2) \neq 1$이고 $\displaystyle f(4) \times f(5) < 20$인 비감소함수를 직접 세려면:

1. $\displaystyle f(4) \times f(5) < 20$이면서 $\displaystyle f(4) \leq f(5)$인 쌍을 모두 나열해요:

1. 각 $\displaystyle (f(4), f(5))$ 쌍에 대해 $\displaystyle f(1) \leq f(2) \leq f(3) \leq f(4)$이면서 $\displaystyle f(2) \geq 2$인 경우의 수를 계산해요.

장단점: 이 방법은 경우의 수가 많아 계산량이 여사건 풀이보다 훨씬 많고 실수 확률이 높아요. 시험장에서는 정석(여사건 + 포함-배제) 풀이가 압도적으로 효율적이에요.

5. 오답 분석

주관식 단답형이므로 자주 나오는 오답 유형을 정리할게요.

주요 함정 상세

• 경계값 실수: $\displaystyle f(4) \times f(5) < 20$에서 $\displaystyle (4, 5)$의 곱이 정확히 20이므로 미포함이에요. 반면 $\displaystyle (4, 4) = 16 < 20$은 포함이에요. 부등호가 $\displaystyle <$인지 $\displaystyle \leq$인지 반드시 확인하세요.
• 비감소 조건 무시: $\displaystyle f(2) = 1$이면 $\displaystyle f(1) = 1$이 자동으로 결정되는데, 이를 놓치면 $\displaystyle f(1)$에 자유도를 부여해서 경우의 수가 뻥튀기돼요.
• '또는'과 '그리고' 혼동: 여사건을 잡을 때 드모르간 법칙에 의해 '그리고'가 '또는'으로 바뀌어요. 이걸 간과하고 교집합으로 처리하면 포함-배제를 적용할 수 없어요.
• 중복조합 공식 $\displaystyle n$ 값 오류: $\displaystyle {}_{n}H_{r}$에서 $\displaystyle n$은 택할 수 있는 값의 종류 수(치역의 크기)이지, 택하는 횟수가 아니에요. $\displaystyle n$과 $\displaystyle r$을 바꾸면 완전히 다른 값이 나와요.

6. 유사 기출

7. 핵심 정리

• 비감소함수의 개수 = 중복조합: $\displaystyle f : \{1, \ldots, k\} \to \{1, \ldots, n\}$인 비감소함수의 수는 $\displaystyle {}_{n}H_{k} = {}_{n+k-1}C_{k}$
• '그리고' 조건의 여사건은 '또는': 드모르간 법칙 → 포함-배제 원리 $\displaystyle |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 적용
• 경계값은 반드시 대입 확인: $\displaystyle f(4) \times f(5) < 20$에서 "="이 포함되는지 아닌지가 답을 바꿔요. 등호 포함 여부를 문제에서 정확히 읽는 습관이 중요해요.

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출처: 2023학년도 education_office 수학 30번, 출제기관: 한국교육과정평가원 본 콘텐츠의 문항 및 해설 저작권은 해당 출제기관에 있으며, 교육 목적의 분석입니다.