2026학년도 수학 38번 문항 분석

1. 출제 의도

등비수열의 극한에서 극한값이 존재할 조건을 정확하게 분류하고, 절댓값 부등식을 만족하는 정수 순서쌍의 개수를 체계적으로 구할 수 있는지를 평가하는 문항이에요.

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2. 조건 분석

조건 간 관계: 두 극한의 존재 조건은 각각 $\displaystyle (a, b)$의 범위를 제한하고, 등식 조건이 이 둘을 하나로 묶어요. 순서쌍 개수 조건은 최종적으로 $\displaystyle k$를 결정하는 종속 관계예요.

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3. 정석 풀이

Step 1. 극한값 존재 조건 분류

$\displaystyle r^n$ 꼴의 극한에서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n$이 존재하려면:

$\displaystyle \lvert r \rvert < 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} r^n = 0, \qquad r = 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} r^n = 1$

그 외($\displaystyle \lvert r \rvert > 1$ 또는 $\displaystyle r = -1$)에서는 발산하여 극한값이 존재하지 않아요.

따라서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\lvert \dfrac{2a+2b-20}{k} \right\rvert^n$의 값이 존재하면:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\lvert \frac{2a+2b-20}{k} \right\rvert^n = 0 \quad \text{또는} \quad 1$

두 극한값이 같으므로 경우 (ⅰ) 극한값$\displaystyle =1$, **경우 (ⅱ) 극한값$\displaystyle =0$**으로 나눠요.

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Step 2. 경우 (ⅰ): 극한값$\displaystyle =1$

세 조건을 동시에 만족해야 해요:

• $\displaystyle \left\lvert \dfrac{2a+2b-20}{k} \right\rvert = 1$ (우변 극한$\displaystyle =1$)
• $\displaystyle a+b = 1$ (좌변 극한에서 $\displaystyle (a+b)^n \to 1$이 되려면)
• $\displaystyle \lvert a \rvert = 1$ (좌변이 $\displaystyle \lvert a \rvert \cdot 1^n = \lvert a \rvert$이므로 값이 1이 되려면)

$\displaystyle a+b = 1$을 대입하면:

$\displaystyle \left\lvert \frac{2 \cdot 1 - 20}{k} \right\rvert = 1 \implies \frac{18}{k} = 1 \implies \boxed{k = 18}$

$\displaystyle k=18$에서 $\displaystyle a+b=1$, $\displaystyle \lvert a \rvert = 1$을 만족하는 정수 순서쌍:

• $\displaystyle a = 1 \Rightarrow b = 0$ → $\displaystyle (1, 0)$
• $\displaystyle a = -1 \Rightarrow b = 2$ → $\displaystyle (-1, 2)$

$\displaystyle \therefore$ 경우 (ⅰ)에서 순서쌍 2개

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Step 3. 경우 (ⅱ): 극한값$\displaystyle =0$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \lvert a \rvert (a+b)^n = 0$이 되려면:

• 경우 A: $\displaystyle a+b = 0$ (단, $\displaystyle a \neq 0$) → $\displaystyle \lvert a \rvert \cdot 0^n = 0$ (단, $\displaystyle n \geq 1$에서 $\displaystyle 0^n = 0$)

  이때 우변 조건 확인: $\displaystyle a+b=0$이면 $\displaystyle \left\lvert \dfrac{2 \cdot 0 - 20}{k} \right\rvert = \dfrac{20}{k}$

  $\displaystyle k \leq 20$이므로 $\displaystyle \dfrac{20}{k} \geq 1$ → $\displaystyle \left\lvert \dfrac{-20}{k} \right\rvert^n$이 0으로 수렴하지 않아요!

  $\displaystyle k = 20$이면 $\displaystyle \dfrac{20}{20} = 1$이라 극한값$\displaystyle =1 \neq 0$, $\displaystyle k < 20$이면 $\displaystyle \dfrac{20}{k} > 1$이라 발산.

  $\displaystyle \therefore$ 경우 A는 해당하는 순서쌍이 없어요.

• 경우 B: $\displaystyle a = 0$ → 좌변$\displaystyle = 0 \cdot (b)^n = 0$

  우변 조건: $\displaystyle \left\lvert \dfrac{2b - 20}{k} \right\rvert < 1$ 즉 $\displaystyle \lvert 2b - 20 \rvert < k$

  이를 풀면:

  $\displaystyle -k < 2b - 20 < k \implies 10 - \frac{k}{2} < b < 10 + \frac{k}{2}$

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Step 4. 정수 $\displaystyle b$의 개수 세기

구간 $\displaystyle \left(10 - \dfrac{k}{2},\; 10 + \dfrac{k}{2}\right)$에서 정수 $\displaystyle b$의 개수:

• $\displaystyle k$가 홀수인 경우: 양 끝점이 정수가 아니므로 정수의 개수는 $\displaystyle k$개
• $\displaystyle k$가 짝수인 경우: 양 끝점이 정수이지만 개구간(열린 구간)이므로 끝점을 포함하지 않아 정수의 개수는 $\displaystyle k - 1$개

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Step 5. $\displaystyle k$별 전체 순서쌍 수 확인

경우 (ⅰ)과 (ⅱ)를 합산하여 순서쌍 수가 19가 되는 $\displaystyle k$를 찾아요.

$\displaystyle k \leq 17$인 경우:

• $\displaystyle k$가 짝수이면 경우 (ⅱ)에서 $\displaystyle k-1 \leq 16$개, 경우 (ⅰ)은 $\displaystyle k=18$에서만 발생하므로 0개 → 합계 $\displaystyle \leq 16 < 19$
• $\displaystyle k$가 홀수이면 경우 (ⅱ)에서 $\displaystyle k \leq 17$개, 경우 (ⅰ) 0개 → 합계 $\displaystyle \leq 17 < 19$

$\displaystyle \therefore$ 조건을 만족하는 $\displaystyle k$는 18, 19, 20

$\displaystyle \boxed{18 + 19 + 20 = 57}$

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4. 별해 — 역추적법

순서쌍 개수 19에서 거꾸로 추적하는 방법이에요.

핵심 관찰: 경우 (ⅰ)에서 가능한 순서쌍은 최대 2개($\displaystyle k=18$일 때만)이므로, 경우 (ⅱ)에서 17개 또는 19개가 나와야 해요.

• 경우 (ⅱ)에서 $\displaystyle b$의 개수가 $\displaystyle k$(홀수) 또는 $\displaystyle k-1$(짝수)
• 19개가 필요: $\displaystyle k = 19$(홀수, 바로 19개) 또는 $\displaystyle k = 20$(짝수, $\displaystyle 20-1=19$개) → 확정
• 17개가 필요: $\displaystyle k = 17$(홀수, 17개) 또는 $\displaystyle k = 18$(짝수, $\displaystyle 18-1=17$개)
  • $\displaystyle k = 17$: 경우 (ⅰ)은 $\displaystyle k=18$에서만 성립 → 0개 → 합계 17 ≠ 19 → 탈락
  • $\displaystyle k = 18$: 경우 (ⅰ)에서 2개 → 합계 $\displaystyle 17+2=19$ → 확정

따라서 $\displaystyle k = 18, 19, 20$이고 답은 $\displaystyle 18 + 19 + 20 = 57$.

장점: $\displaystyle k \leq 17$ 전체를 확인할 필요 없이 빠르게 후보를 좁힐 수 있어요. 단점: 경우 분류가 완벽하게 이루어져야 역추적이 정확해요. 정석 풀이를 먼저 익힌 후 시도하는 것을 추천해요.

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5. 오답 분석

주관식 문항이므로 선지별 분석 대신, 자주 나오는 오답과 그 원인을 정리했어요.

핵심 함정 포인트

1. $\displaystyle a+b=0$($\displaystyle a \neq 0$) 함정: 좌변 극한은 0이 되지만 우변에서 $\displaystyle \dfrac{20}{k} \geq 1$이므로 극한값$\displaystyle =0$ 조건을 만족하지 못해요. 이 경우를 포함시키면 순서쌍 수가 과다하게 세어져요.

2. 홀짝 분류 함정: 개구간 $\displaystyle \left(10-\dfrac{k}{2},\; 10+\dfrac{k}{2}\right)$에서 $\displaystyle k$가 짝수이면 양 끝점이 정수라 제외해야 해요. 이걸 놓치면 $\displaystyle k-1$이 아닌 $\displaystyle k+1$로 세는 실수가 발생해요.

3. $\displaystyle \lvert r \rvert = 1$에서 $\displaystyle r = -1$ 함정: $\displaystyle r = -1$이면 $\displaystyle (-1)^n$은 진동하여 극한이 존재하지 않아요. $\displaystyle \lvert r \rvert = 1$이라고 극한이 1이라고 단정하면 안 돼요. 반드시 $\displaystyle r = 1$인지 확인해야 해요.

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6. 유사 기출

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7. 핵심 정리

• $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n$이 존재 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \lvert r \rvert < 1$ (극한값 $\displaystyle 0$) 또는 $\displaystyle r = 1$ (극한값 $\displaystyle 1$). "$\displaystyle r = -1$"은 발산이에요.
• 개구간 $\displaystyle (c - d,\; c + d)$에서 정수의 개수를 셀 때, $\displaystyle 2d$가 정수인지 아닌지에 따라 결과가 달라져요. 홀짝 분류는 반드시 연습해 두세요.
• "극한이 존재한다"와 "극한이 수렴한다"를 같은 뜻으로 취급하되, 극한값이 0인 경우와 0이 아닌 경우를 빠짐없이 분류하는 습관이 이 유형의 핵심이에요.

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출처: 서울특별시교육청 (2027학년도 3월 전국연합학력평가)