2026학년도 수학 45번 문항 분석

정석 풀이

Step 1. 쌍곡선의 기본 요소 파악

쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2a^2} = 1$에서 $\displaystyle b^2 = 2a^2$이에요.

$\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

$\displaystyle \therefore\; c = \sqrt{3}\,a$

따라서 두 초점은 $\displaystyle F(\sqrt{3}\,a,\; 0)$, $\displaystyle F'(-\sqrt{3}\,a,\; 0)$이고, 꼭짓점 A는 $\displaystyle A(-a,\; 0)$이에요.

왜? $\displaystyle c^2 = a^2 + b^2$은 쌍곡선의 초점 거리 공식이에요. $\displaystyle b^2 = 2a^2$이라는 특수한 설정 덕분에 $\displaystyle c = \sqrt{3}\,a$라는 깔끔한 비율이 나와요.

Step 2. 점 P의 좌표 결정

점 F'을 지나고 $\displaystyle x$축에 수직인 직선은 $\displaystyle x = -\sqrt{3}\,a$예요. 이를 쌍곡선에 대입하면:

$\displaystyle \frac{3a^2}{a^2} - \frac{y^2}{2a^2} = 1$

$\displaystyle 3 - \frac{y^2}{2a^2} = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{y^2}{2a^2} = 2 \quad\Rightarrow\quad y^2 = 4a^2$

$\displaystyle y = \pm 2a$

P는 제2사분면에 있으므로 $\displaystyle y > 0$이에요.

$\displaystyle \therefore\; P(-\sqrt{3}\,a,\; 2a)$

왜? $\displaystyle x = -c$ (초점의 $\displaystyle x$좌표)를 쌍곡선에 대입하는 것은 통경(latus rectum) 계산이에요. 이차곡선 문제에서 자주 사용되는 기법이니 익숙해지세요.

Step 3. $\displaystyle \overline{FP}$ 계산 — 쌍곡선의 정의 활용

P는 쌍곡선 위의 점이고, P는 F' 쪽(왼쪽 가지)에 있으므로:

$\displaystyle \overline{FP} - \overline{F'P} = 2a$

이미 $\displaystyle \overline{F'P} = 2a$ (Step 2에서 P와 F'의 $\displaystyle x$좌표가 같으므로 $\displaystyle y$좌표 차이가 곧 거리)이므로:

$\displaystyle \overline{FP} = 2a + 2a = 4a$

왜? 쌍곡선의 정의에서 $\displaystyle |\overline{FP} - \overline{F'P}| = 2a$인데, P가 왼쪽 가지에 있으므로 F(오른쪽 초점)에서 더 멀어요. 따라서 $\displaystyle \overline{FP} - \overline{F'P} = 2a$ (부호가 양수)예요.

Step 4. $\displaystyle \angle F'FP$ 계산

직각삼각형 PF'F에서 ($\displaystyle \angle PF'F = 90°$, F'P가 $\displaystyle x$축에 수직이므로):

$\displaystyle \sin(\angle F'FP) = \frac{\overline{F'P}}{\overline{FP}} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle \therefore\; \angle F'FP = \frac{\pi}{6}\;(=30°)$

왜? F'P는 $\displaystyle x$축에 수직이고, F'F는 $\displaystyle x$축 위에 있으므로 $\displaystyle \angle PF'F = 90°$인 직각삼각형이 형성돼요. $\displaystyle \sin = \frac{1}{2}$이면 $\displaystyle 30°$라는 사실은 삼각비의 기본이에요.

Step 5. AH, FH 계산

A는 선분 PF 위의 점이 아니라, A에서 선분 PF에 내린 수선의 발이 H예요. 따라서 $\displaystyle \angle AHF = 90°$이고 직각삼각형 AHF에서:

$\displaystyle \overline{FA} = c + a = \sqrt{3}\,a + a = (\sqrt{3} + 1)a$

(A와 F는 모두 $\displaystyle x$축 위에 있고, $\displaystyle \angle AFH = \angle F'FP = \frac{\pi}{6}$)

$\displaystyle \overline{AH} = \overline{FA} \cdot \sin\frac{\pi}{6} = (\sqrt{3} + 1)a \cdot \frac{1}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)a}{2}$

$\displaystyle \overline{FH} = \overline{FA} \cdot \cos\frac{\pi}{6} = (\sqrt{3} + 1)a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{(3 + \sqrt{3})a}{2}$

왜? A에서 직선 PF에 수선을 내리면, $\displaystyle \triangle AHF$는 $\displaystyle \angle AHF = 90°$인 직각삼각형이에요. $\displaystyle \angle AFH$는 직선 PF와 $\displaystyle x$축이 이루는 각이므로 Step 4에서 구한 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$과 같아요.

Step 6. 타원의 장축의 길이 결정

H와 Q는 모두 두 초점이 A, F인 타원 위의 점이에요. 타원의 정의에 의해:

$\displaystyle \overline{AH} + \overline{FH} = \overline{AQ} + \overline{FQ} = 2a'\;(\text{타원의 장축의 길이})$

$\displaystyle 2a' = \frac{(\sqrt{3}+1)a}{2} + \frac{(3+\sqrt{3})a}{2} = \frac{(4 + 2\sqrt{3})a}{2} = (2 + \sqrt{3})a$

Step 7. $\displaystyle a$ 값 결정 — 쌍곡선의 정의 재활용

Q는 쌍곡선 위의 점이고, Q가 제4사분면(오른쪽 가지)에 있으므로:

$\displaystyle \overline{F'Q} - \overline{FQ} = 2a$

이제 주어진 조건 $\displaystyle \overline{AQ} + \overline{F'Q} = 6 + 8\sqrt{3}$을 분석해요:

$\displaystyle \overline{AQ} + \overline{F'Q} = (\overline{AQ} + \overline{FQ}) + (\overline{F'Q} - \overline{FQ})$

$\displaystyle = (2 + \sqrt{3})a + 2a = (4 + \sqrt{3})a$

따라서:

$\displaystyle (4 + \sqrt{3})a = 6 + 8\sqrt{3}$

양변을 $\displaystyle (4 + \sqrt{3})$으로 나누기 위해 유리화해요:

$\displaystyle a = \frac{6 + 8\sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}} \cdot \frac{4 - \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} = \frac{(6 + 8\sqrt{3})(4 - \sqrt{3})}{16 - 3}$

분자를 전개하면:

$\displaystyle (6 + 8\sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 24 - 6\sqrt{3} + 32\sqrt{3} - 24 = 26\sqrt{3}$

$\displaystyle \therefore\; a = \frac{26\sqrt{3}}{13} = 2\sqrt{3}$

Step 8. 최종 답 계산

타원의 장축의 길이는:

$\displaystyle (2 + \sqrt{3})a = (2 + \sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 2 \cdot 3 = 6 + 4\sqrt{3}$

따라서 $\displaystyle p = 6$, $\displaystyle q = 4$이고:

$\displaystyle \boxed{p^2 + q^2 = 36 + 16 = 52}$

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별해 — 좌표 직접 계산

$\displaystyle a$를 미지수로 두고 모든 점의 좌표를 직접 계산하는 방법이에요.

1. $\displaystyle A(-a, 0)$, $\displaystyle F(\sqrt{3}\,a, 0)$, $\displaystyle P(-\sqrt{3}\,a, 2a)$
2. 직선 PF의 방정식: 기울기 $\displaystyle = \frac{2a - 0}{-\sqrt{3}\,a - \sqrt{3}\,a} = \frac{2a}{-2\sqrt{3}\,a} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\displaystyle y = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - \sqrt{3}\,a)$

1. A에서 직선 PF에 수선을 내려 H의 좌표를 구하고, $\displaystyle \overline{AH} + \overline{FH}$를 계산하면 정석 풀이와 동일한 결과를 얻어요.

장단점: 좌표를 직접 다루므로 기하적 직관 없이도 풀 수 있지만, 계산량이 많아 실수 가능성이 높고 시간이 더 걸려요. 삼각비 활용이 훨씬 효율적이에요.

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오답 분석

주관식 문항이므로 선지 분석 대신 대표적 오답 유형을 정리할게요.

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유사 기출

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핵심 정리

• 쌍곡선·타원 융합 문제의 핵심: 한 점이 두 곡선 위에 동시에 있으면, 두 정의를 연립하여 미지수를 제거할 수 있어요. $\displaystyle (\overline{AQ} + \overline{FQ}) + (\overline{F'Q} - \overline{FQ})$처럼 거리의 합과 차를 조합하는 테크닉을 반드시 익혀두세요.
• $\displaystyle b^2 = 2a^2$ → $\displaystyle c = \sqrt{3}\,a$ → $\displaystyle \sin\theta = \frac{1}{2}$ → $\displaystyle \theta = 30°$: 이 흐름은 기하 킬러 문항에서 자주 등장하는 패턴이에요. $\displaystyle \sin$이나 $\displaystyle \cos$이 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ 같은 특수값이 나오면 즉시 특수각을 떠올리세요.
• 유리화 실수 주의: $\displaystyle \frac{6+8\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}$처럼 $\displaystyle \sqrt{3}$이 포함된 분수는 반드시 분모를 유리화한 뒤 계산하세요. 분자 전개에서 부호 실수가 가장 흔한 감점 원인이에요.

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출처: 서울특별시교육청 (2027학년도 3월 전국연합학력평가)

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출처: 2027학년도 education_office 수학 45번, 출제기관: 한국교육과정평가원 본 콘텐츠의 문항 및 해설 저작권은 해당 출제기관에 있으며, 교육 목적의 분석입니다.