2026학년도 수학 30번 문항 분석

1. 출제 의도

12개의 자리에 $\displaystyle -1$과 $\displaystyle 1$이 적힌 카드를 배치할 때, 인접한 카드의 곱으로 정의되는 수열의 합 조건을 케이스 분할과 중복조합으로 해결할 수 있는지 평가하는 문항이에요.

성취기준 [12확통01-02] 중복조합을 이해하고, 중복조합의 수를 구할 수 있다.

2. 조건 분석

"이 조건이 없으면?": 합 조건이 없으면 $\displaystyle {}_{12}\mathrm{C}_6 = 924$가지 배치가 모두 허용돼요. 합 조건이 경우의 수를 대폭 제한하는 핵심 조건이에요.

3. 정석 풀이

Step 1. $\displaystyle a_n$의 부호 분석

$\displaystyle a_n$은 인접한 두 카드에 적힌 수의 곱이므로:

• 인접 카드가 같은 부호 → $\displaystyle a_n = 1$
• 인접 카드가 다른 부호 → $\displaystyle a_n = -1$

$\displaystyle \sum_{n=1}^{11} a_n = 3$

$\displaystyle a_n = 1$인 것이 $\displaystyle p$개, $\displaystyle a_n = -1$인 것이 $\displaystyle q$개라 하면:

$\displaystyle p + q = 11, \quad p - q = 3$

$\displaystyle \therefore p = 7, \quad q = 4$

즉, 인접한 카드의 부호가 바뀌는 위치가 정확히 4곳이에요.

Step 2. 배치 구조 파악

$\displaystyle -1$ 카드 6장이 12자리 중 어디에 놓이는지를 생각해 볼게요. $\displaystyle 1$ 카드들 사이에 $\displaystyle -1$ 카드가 연속 블록으로 끼어들어 가는 구조예요.

$\displaystyle 1$이 적힌 카드 6장을 먼저 놓으면 사이사이와 양끝에 자리가 생겨요:

$\displaystyle \underset{▲}{\phantom{X}} \ \underset{□}{1} \ \underset{△}{\phantom{X}} \ \underset{□}{1} \ \underset{△}{\phantom{X}} \ \underset{□}{1} \ \underset{△}{\phantom{X}} \ \underset{□}{1} \ \underset{△}{\phantom{X}} \ \underset{□}{1} \ \underset{△}{\phantom{X}} \ \underset{□}{1} \ \underset{▲}{\phantom{X}}$

• □: $\displaystyle 1$ 카드가 놓인 자리 (6개)
• △: $\displaystyle 1$ 카드 사이의 내부 자리 (5개)
• ▲: 양 끝 자리 (2개)

Step 3. 부호 변화 횟수 규칙

핵심은 $\displaystyle -1$ 카드를 어느 위치에 놓느냐에 따라 $\displaystyle a_n = -1$이 몇 개 생기는지가 달라진다는 거예요.

• **△(내부)**에 $\displaystyle -1$을 1장 이상 놓으면: 양쪽에 $\displaystyle 1$ 카드와 접하므로 부호 변화가 2번 발생 → $\displaystyle a_n = -1$이 2개 생겨요
• **▲(양끝)**에 $\displaystyle -1$을 1장 이상 놓으면: 한쪽만 $\displaystyle 1$ 카드와 접하므로 부호 변화가 1번 발생 → $\displaystyle a_n = -1$이 1개 생겨요

$\displaystyle a_n = -1$이 총 4개 필요하므로, 가능한 케이스는:

이 두 케이스만 가능하고, 서로 배반(겹치지 않음)이에요.

Step 4. (ⅰ) △ 2개에 $\displaystyle -1$ 카드를 놓는 경우

5개의 △ 중 2개를 선택하는 경우의 수:

$\displaystyle {}_5\mathrm{C}_2 = 10$

선택한 2개의 △에 $\displaystyle -1$ 카드 6장을 각각 1장 이상 배분하는 경우의 수를 구해요.

$\displaystyle x_1 + x_2 = 6 \quad (x_1 \ge 1, \ x_2 \ge 1)$

$\displaystyle x_1' = x_1 - 1$, $\displaystyle x_2' = x_2 - 1$로 치환하면:

$\displaystyle x_1' + x_2' = 4 \quad (x_1' \ge 0, \ x_2' \ge 0)$

$\displaystyle {}_2\mathrm{H}_4 = {}_{2+4-1}\mathrm{C}_4 = {}_5\mathrm{C}_4 = 5$

$\displaystyle \therefore \ \text{(ⅰ)의 경우의 수} = 10 \times 5 = \mathbf{50}$

Step 5. (ⅱ) △ 1개 + ▲ 2개에 $\displaystyle -1$ 카드를 놓는 경우

5개의 △ 중 1개를 선택하는 경우의 수:

$\displaystyle {}_5\mathrm{C}_1 = 5$

▲는 양끝 2개를 모두 사용해야 하므로 선택의 여지가 없어요.

선택한 △ 1개와 ▲ 2개, 총 3곳에 $\displaystyle -1$ 카드 6장을 각각 1장 이상 배분:

$\displaystyle x_1 + x_2 + x_3 = 6 \quad (x_1 \ge 1, \ x_2 \ge 1, \ x_3 \ge 1)$

$\displaystyle x_i' = x_i - 1$로 치환하면:

$\displaystyle x_1' + x_2' + x_3' = 3 \quad (x_i' \ge 0)$

$\displaystyle {}_3\mathrm{H}_3 = {}_{3+3-1}\mathrm{C}_3 = {}_5\mathrm{C}_3 = 10$

$\displaystyle \therefore \ \text{(ⅱ)의 경우의 수} = 5 \times 10 = \mathbf{50}$

Step 6. 최종 답

(ⅰ)과 (ⅱ)는 배반이므로 합의 법칙에 의해:

$\displaystyle 50 + 50 = \boxed{100}$

4. 별해 — 부호 변화 직접 카운팅

12개 자리의 배열을 직접 부호 변화 위치로 분석하는 방법이에요.

$\displaystyle -1$ 카드 6장이 놓이는 위치를 연속 블록으로 묶으면, 각 블록은 $\displaystyle 1$ 카드 사이에 끼어들어요. 부호가 바뀌는 위치가 정확히 4곳이라는 조건에서, $\displaystyle -1$ 블록의 개수와 위치를 직접 나열하고 중복조합으로 계산할 수 있어요.

정석 풀이와 본질은 같지만, ▲/△ 기호를 도입하지 않고 블록 분할을 직접 수행하는 차이가 있어요. 이 문항에서는 정석 풀이의 ▲/△ 분류가 더 체계적이고 실수가 적어요.

5. 오답 분석

주관식 단답형이므로 선지별 분석 대신, 자주 나오는 오답 패턴을 정리할게요.

가장 치명적인 함정: 같은 수가 적힌 카드끼리 구별하지 않는 조건을 간과하면, 순열로 계산하여 답이 수십~수백 배로 커져요.

6. 유사 기출

7. 핵심 정리

• 중복조합 공식: $\displaystyle {}_n\mathrm{H}_k = {}_{n+k-1}\mathrm{C}_k$ — "서로 다른 $\displaystyle n$개에서 중복 허용하여 $\displaystyle k$개 택하기"
• 부호 변화 분석이 핵심: $\displaystyle a_n$의 합 조건 → $\displaystyle a_n = 1$과 $\displaystyle a_n = -1$의 개수 확정 → 내부(△)와 양끝(▲)에서 부호 변화 발생 개수가 다름(2개 vs 1개)을 반드시 구분해야 해요
• 자주 틀리는 포인트: 부정방정식에서 $\displaystyle x_i \ge 1$을 $\displaystyle x_i \ge 0$으로 변환할 때 치환을 빠뜨리면 답이 달라져요. 치환 후 합이 줄어드는지 꼭 확인하세요!

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출처: 서울특별시교육청 (2027학년도 3월 전국연합학력평가)