2026학년도 수학 22번 문항 분석

조건 분석

조건 간 관계: 조건 ③이 핵심 — $\displaystyle k$가 자연수라는 제약과 결합하여 $\displaystyle k$의 값을 유일하게 결정해요. $\displaystyle k$가 결정되면 조건 ④의 근과 계수 관계로 답을 바로 구할 수 있어요.

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정석 풀이

Step 1. 거리 조건을 수식으로 표현

직선 $\displaystyle x = t$ 위의 두 점 A, B 사이의 거리는 $\displaystyle y$좌표의 차이의 절댓값이에요.

$\displaystyle \left\lvert g(t) - f(t) \right\rvert = \frac{1}{5}$

$\displaystyle h(x) = g(x) - f(x)$로 놓으면

$\displaystyle h(x) = 2 \times 4^x - 2^x + \left(\frac{1}{2}\right)^k$

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Step 2. $\displaystyle h(x)$의 최솟값 확인 → 절댓값 경우 분리

$\displaystyle 4^x = (2^x)^2$이므로, $\displaystyle h(x)$를 완전제곱식으로 변환해요.

$$\begin{aligned} h(x) &= 2(2^x)^2 - 2^x + \frac{1}{2^k} \\ &= 2\left(2^x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{2^k} - \frac{1}{8} \end{aligned}$$

$\displaystyle 2^x > 0$이므로 $\displaystyle 2^x - \frac{1}{4} > -\frac{1}{4}$이고, $\displaystyle \left(2^x - \frac{1}{4}\right)^2$의 최솟값은 $\displaystyle 2^x = \frac{1}{4}$일 때 $\displaystyle 0$이에요.

따라서 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{1}{2^k} - \frac{1}{8}$이에요.

$\displaystyle k$가 자연수이므로 $\displaystyle k \geq 1$일 때 $\displaystyle \frac{1}{2^k} \leq \frac{1}{2}$이고, $\displaystyle \frac{1}{2^k} - \frac{1}{8} \geq -\frac{1}{8}$은 아니지만, 핵심은 $\displaystyle h(x)$의 최솟값이 $\displaystyle -\frac{1}{5}$보다 큰지 확인하는 것이에요.

$\displaystyle k \geq 1$이면 $\displaystyle \frac{1}{2^k} - \frac{1}{8} \geq \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$이 아니라... 정확히 계산하면:

• $\displaystyle k = 1$: 최솟값 $\displaystyle = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} > 0 > -\frac{1}{5}$ ✓
• $\displaystyle k = 2$: 최솟값 $\displaystyle = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} > -\frac{1}{5}$ ✓
• $\displaystyle k \geq 3$: 최솟값 $\displaystyle = \frac{1}{2^k} - \frac{1}{8} \geq -\frac{1}{8} > -\frac{1}{5}$ ✓

모든 자연수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle h(x) > -\frac{1}{5}$이므로, $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{5}$은 해가 없어요.

$\displaystyle \therefore \left\lvert h(x) \right\rvert = \frac{1}{5} \implies h(x) = \frac{1}{5} \text{ 만 고려}$

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Step 3. $\displaystyle 2^x = X$ 치환으로 이차방정식 유도

$\displaystyle h(x) = \frac{1}{5}$에 대입하면

$\displaystyle 2(2^x)^2 - 2^x + \frac{1}{2^k} - \frac{1}{5} = 0$

$\displaystyle 2^x = X$ ($\displaystyle X > 0$)으로 치환하면

$\displaystyle 2X^2 - X + \frac{1}{2^k} - \frac{1}{5} = 0$

두 근 $\displaystyle 2^a$, $\displaystyle 2^b$ ($\displaystyle a \neq b$)가 모두 양수여야 해요.

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Step 4. $\displaystyle k$의 범위 결정 — 판별식 & 양근 조건

판별식 $\displaystyle D > 0$ (서로 다른 두 실근)

$$\begin{aligned} D &= (-1)^2 - 4 \times 2 \times \left(\frac{1}{2^k} - \frac{1}{5}\right) \\ &= 1 - 8\left(\frac{1}{2^k} - \frac{1}{5}\right) \\ &= \frac{13}{5} - \frac{8}{2^k} > 0 \end{aligned}$$

$\displaystyle \frac{8}{2^k} < \frac{13}{5} \implies 2^k > \frac{40}{13} \approx 3.08 \quad \cdots \text{㉠}$

두 근의 곱 > 0 (두 근 모두 양수)

근과 계수의 관계에서 두 근의 곱:

$\displaystyle 2^a \cdot 2^b = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^k} - \frac{1}{5}\right) > 0$

$\displaystyle \frac{1}{2^k} > \frac{1}{5} \implies 2^k < 5 \quad \cdots \text{㉡}$

(두 근의 합 $\displaystyle = \frac{1}{2} > 0$은 자동 충족)

㉠, ㉡ 종합: $\displaystyle \frac{40}{13} < 2^k < 5$, 즉 $\displaystyle 3.08 < 2^k < 5$

$\displaystyle k$가 자연수이므로 $\displaystyle 2^k = 4$, 즉 $\displaystyle k = 2$

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Step 5. 최종 답 계산

$\displaystyle k = 2$를 대입하면, 근과 계수의 관계에서

$\displaystyle 2^a \cdot 2^b = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{20} = \frac{1}{40}$

$\displaystyle 2^a \cdot 2^b = 2^{a+b} = 2^p$이므로

$\displaystyle 2^p = \frac{1}{40}$

따라서

$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^p = \frac{1}{2^p} = \frac{1}{\frac{1}{40}} = 40$

$\displaystyle k \times \left(\frac{1}{2}\right)^p = 2 \times 40 = 80$

$\displaystyle \therefore$ 답: 80

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별해

별해 1: 완전제곱식을 이용한 시각적 접근 (기하적 접근)

$\displaystyle h(x) = 2\left(2^x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{1}{2^k} - \frac{1}{8}$은 $\displaystyle 2^x$에 대한 아래로 볼록한 이차함수 형태예요.

$\displaystyle y = h(x)$의 그래프 개형:

• $\displaystyle x \to -\infty$일 때 $\displaystyle 2^x \to 0$이므로 $\displaystyle h(x) \to \frac{1}{2^k}$ (양수)
• $\displaystyle 2^x = \frac{1}{4}$, 즉 $\displaystyle x = -2$에서 최솟값 $\displaystyle \frac{1}{2^k} - \frac{1}{8}$
• $\displaystyle x \to +\infty$일 때 $\displaystyle h(x) \to +\infty$

수평선 $\displaystyle y = \frac{1}{5}$과 $\displaystyle y = h(x)$의 교점이 정확히 2개가 되려면, 최솟값 $\displaystyle < \frac{1}{5}$이어야 해요.

$\displaystyle \frac{1}{2^k} - \frac{1}{8} < \frac{1}{5} \implies \frac{1}{2^k} < \frac{13}{40}$

이는 판별식 조건과 동치이고, 양근 조건과 함께 $\displaystyle k = 2$를 결정해요. 이후 계산은 정석 풀이와 동일해요.

장점: 그래프 개형을 머릿속에 그리면 조건의 의미를 직관적으로 파악할 수 있어요. 단점: 최종 계산량은 동일해요.

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오답 분석

주관식 문항이므로 선지별 분포는 없지만, 흔한 오답 패턴을 정리할게요.

흔한 오답 패턴

함정 포인트

• 절댓값 함정: $\displaystyle \left\lvert h(x) \right\rvert = \frac{1}{5}$이므로 $\displaystyle h(x) = \frac{1}{5}$과 $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{5}$ 두 경우를 모두 검토해야 하는데, $\displaystyle h(x) = -\frac{1}{5}$이 해가 없음을 증명하지 않으면 불필요한 계산에 빠질 수 있어요.

• $\displaystyle X > 0$ 조건 누락: $\displaystyle 2^x = X$로 치환한 뒤 $\displaystyle X > 0$ 조건을 잊으면, 이차방정식의 음의 근까지 포함하여 $\displaystyle k$의 범위를 잘못 설정하게 돼요.

• $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^p$와 $\displaystyle 2^p$의 역수 관계: $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^p = 2^{-p} = \frac{1}{2^p}$이므로, $\displaystyle 2^p = \frac{1}{40}$이면 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^p = 40$이에요. 이 역수 변환에서 실수하면 답이 완전히 달라져요.

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유사 기출

본 문항은 역대 22번 대비 체감 난이도가 낮다는 평가가 있어요. 커뮤니티에서는 킬러 문항이 28~30번으로 이동했다는 반응이에요.

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핵심 정리

• 지수함수 치환의 핵심: $\displaystyle 4^x = (2^x)^2$을 이용해 $\displaystyle 2^x = X$ ($\displaystyle X > 0$)로 치환하면 이차방정식으로 변환할 수 있어요. 이때 $\displaystyle X > 0$ 조건을 반드시 확인해야 해요.
• 해의 개수 = 판별식 + 양근 조건: 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 $\displaystyle D > 0$, 두 근의 합 $\displaystyle > 0$, 두 근의 곱 $\displaystyle > 0$을 모두 만족해야 해요.
• 역수 관계: $\displaystyle 2^p = c$이면 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^p = \frac{1}{c}$. 특히 $\displaystyle c < 1$이면 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^p > 1$이 될 수 있으므로 주의하세요.

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출처: 서울특별시교육청 (2027학년도 3월 전국연합학력평가)