2025학년도 수학 46번 문항 분석

정석 풀이

Step 1. 타원의 기본 요소 정리

주어진 조건에서 타원의 정보를 정리해요.

$\displaystyle a = 5, \quad c = 4, \quad b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 16 = 9$

타원의 정의에 의해:

$\displaystyle \overline{\text{PF}} + \overline{\text{PF'}} = 2a = 10$

초점 간 거리:

$\displaystyle \overline{\text{FF'}} = 2c = 8$

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Step 2. 코사인법칙으로 $\displaystyle \overline{\text{FP}}$ 결정

$\displaystyle \overline{\text{FP}} = k$로 놓으면 $\displaystyle \overline{\text{PF'}} = 10 - k$예요.

삼각형 $\displaystyle \text{PFF'}$에서 $\displaystyle \angle \text{F'FP} = \dfrac{\pi}{3}$이므로 코사인법칙을 적용해요.

$\displaystyle \overline{\text{F'P}}^2 = \overline{\text{FP}}^2 + \overline{\text{FF'}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{FP}} \cdot \overline{\text{FF'}} \cdot \cos\frac{\pi}{3}$

$$\begin{aligned} (10 - k)^2 &= k^2 + 8^2 - 2 \cdot k \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \\ 100 - 20k + k^2 &= k^2 + 64 - 8k \\ 100 - 20k &= 64 - 8k \\ -12k &= -36 \end{aligned}$$

$\displaystyle \therefore \, k = 3, \quad \overline{\text{FP}} = 3$

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Step 3. 직선 FP와 $\displaystyle x$축의 교점 Q 결정

$\displaystyle \text{F}(0, 4)$이고 $\displaystyle \angle \text{F'FP} = \dfrac{\pi}{3}$이에요. 직선 FP는 $\displaystyle \text{F}$에서 $\displaystyle x$축 양의 방향으로 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ 각도를 이루며 내려가요.

$\displaystyle \text{F}$는 $\displaystyle y$축 위의 점 $\displaystyle (0, 4)$이고, 직선 FP가 $\displaystyle x$축과 만나는 점 Q까지의 거리를 구해요.

$\displaystyle \text{F}$에서 $\displaystyle x$축까지의 수직거리가 4이고, 직선 FP가 $\displaystyle x$축과 이루는 각도가 $\displaystyle \dfrac{\pi}{6}$ (직각삼각형에서 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$의 여각)이므로:

$\displaystyle \overline{\text{FQ}} = \frac{4}{\sin\frac{\pi}{3}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

잠깐, 여기서 해설의 접근을 다시 확인해 볼게요.

$\displaystyle \text{F}(0, 4)$에서 $\displaystyle \angle \text{F'FP} = \dfrac{\pi}{3}$이고, $\displaystyle \text{F'}(0, -4)$는 $\displaystyle \text{F}$ 바로 아래에 있으므로 $\displaystyle \overrightarrow{\text{FF'}}$ 방향은 $\displaystyle y$축 음의 방향이에요. 직선 FP는 $\displaystyle \overrightarrow{\text{FF'}}$에서 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$만큼 회전한 방향이에요.

$\displaystyle \text{F}$에서 $\displaystyle x$축까지의 $\displaystyle y$방향 거리는 4이고, 직선 FP의 방향에서 $\displaystyle y$축과의 각도가 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$이므로:

$\displaystyle \overline{\text{FQ}} = \frac{\overline{\text{OF}}}{\cos\frac{\pi}{3}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$

직선 FP 위에서 F로부터 Q까지의 거리가 $\displaystyle \overline{\text{FQ}} = 8$이 되는 이유: $\displaystyle \text{F}$에서 직선을 따라 내려올 때, $\displaystyle y$축 방향 성분이 $\displaystyle \overline{\text{FQ}} \cos\frac{\pi}{3}$이고, 이것이 $\displaystyle \text{F}$에서 $\displaystyle x$축까지의 거리 4와 같아야 하므로 $\displaystyle \overline{\text{FQ}} \cdot \frac{1}{2} = 4$예요.

$\displaystyle \therefore \, \overline{\text{FQ}} = 8$

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Step 4. $\displaystyle \overline{\text{PQ}}$ 계산

$\displaystyle \overline{\text{PQ}} = \overline{\text{FQ}} - \overline{\text{FP}} = 8 - 3 = 5$

P는 포물선 위의 점이고, Q가 초점이므로 포물선의 정의에 의해:

$\displaystyle \overline{\text{PH}_1} = \overline{\text{QP}} = 5$

여기서 $\displaystyle \text{H}_1$은 P에서 준선 $\displaystyle x = a$에 내린 수선의 발이에요.

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Step 5. 직선 FP와 준선의 관계로 $\displaystyle \overline{\text{QR}}$ 결정

$\displaystyle \overline{\text{QR}} = t$로 놓을게요. R도 포물선 위의 점이므로, R에서 준선에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \text{H}_2$라 하면:

$\displaystyle \overline{\text{RH}_2} = \overline{\text{QR}} = t$

P에서 직선 $\displaystyle \text{RH}_2$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \text{H}_3$이라 하면, 직선 FP가 $\displaystyle x$축(즉, 준선에 수직인 방향)과 이루는 각도는 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$이에요.

삼각형 $\displaystyle \text{RPH}_3$에서:

$\displaystyle \overline{\text{RH}_3} = \overline{\text{PR}} \cdot \sin\frac{\pi}{3} = (t + 5) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \cdots \text{ㄱ}$

한편, 준선 방향으로의 거리 관계에서:

$\displaystyle \overline{\text{H}_3\text{H}_2} = \overline{\text{PH}_1} = 5$

$\displaystyle \overline{\text{RH}_3} = \overline{\text{RH}_2} - \overline{\text{H}_3\text{H}_2} = t - 5 \quad \cdots \text{ㄴ}$

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Step 6. 연립하여 $\displaystyle t$ 산출

ㄱ과 ㄴ에서:

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}(t + 5) = t - 5$

양변을 정리하면:

$$\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{2} \, t + \frac{5\sqrt{3}}{2} &= t - 5 \\ \frac{5\sqrt{3}}{2} + 5 &= t - \frac{\sqrt{3}}{2} \, t \\ \frac{5\sqrt{3} + 10}{2} &= t \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ \frac{5\sqrt{3} + 10}{2} &= t \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

$\displaystyle t = \frac{5\sqrt{3} + 10}{2 - \sqrt{3}}$

분모를 유리화해요:

$$\begin{aligned} t &= \frac{(5\sqrt{3} + 10)(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} \\ &= \frac{10\sqrt{3} + 5 \cdot 3 + 20 + 10\sqrt{3}}{4 - 3} \\ &= \frac{20\sqrt{3} + 15 + 20}{1} \\ &= 35 + 20\sqrt{3} \end{aligned}$$

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Step 7. 최종 답 계산

$\displaystyle \overline{\text{PR}} = t + 5 = 35 + 20\sqrt{3} + 5 = 40 + 20\sqrt{3}$

$\displaystyle p + q\sqrt{3}$ 형태에서 $\displaystyle p = 40$, $\displaystyle q = 20$이므로:

$\displaystyle \therefore \, p + q = 40 + 20 = 60$

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별해

좌표 기하 접근

직선 FP의 기울기가 $\displaystyle -\sqrt{3}$ (F에서 $\displaystyle \overrightarrow{\text{FF'}}$ 방향 기준으로 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$ 회전)임을 이용하여 직선의 방정식을 명시적으로 세울 수 있어요.

$\displaystyle \text{직선 FP}: y - 4 = -\sqrt{3}(x - 0), \quad y = -\sqrt{3}x + 4$

$\displaystyle x$축과의 교점 Q: $\displaystyle y = 0$에서 $\displaystyle x = \dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

이후 포물선 $\displaystyle y^2 = 4p(x - x_Q)$ 형태의 방정식과 직선을 연립하여 P, R의 좌표를 직접 구한 뒤 $\displaystyle \overline{\text{PR}}$을 계산해요.

장단점: 좌표를 직접 구하므로 검산이 용이하지만, 포물선의 초점·준선을 좌표로 환산하는 과정에서 계산량이 크게 늘어나요. 정석 풀이의 정의 활용(초점거리 = 준선거리) 방식이 계산량 면에서 훨씬 유리해요.

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오답 분석

주관식 문항이므로 선지별 분포는 없지만, 흔한 오답 패턴을 정리해요.

함정 포인트:

• $\displaystyle \overline{\text{FQ}}$를 구할 때, $\displaystyle \angle \text{F'FP} = \dfrac{\pi}{3}$을 직선 FP와 $\displaystyle x$축이 이루는 각도로 바로 사용하면 틀려요. $\displaystyle \overrightarrow{\text{FF'}}$가 $\displaystyle y$축 음의 방향이므로, 직선 FP와 $\displaystyle y$축이 이루는 각이 $\displaystyle \dfrac{\pi}{3}$이고, $\displaystyle x$축과의 각도와 혼동하면 $\displaystyle \sin$/$\displaystyle \cos$이 뒤바뀌어요.

• $\displaystyle \sqrt{3}$이 섞인 분수 유리화는 전개 항이 4개라서, 하나라도 부호를 잘못 쓰면 답이 완전히 달라져요. $\displaystyle (5\sqrt{3} + 10)(2 + \sqrt{3})$을 전개할 때 각 항을 따로 계산하고 모아주는 게 안전해요.

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유사 기출

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핵심 정리

• 타원의 정의를 먼저 써서 $\displaystyle \overline{\text{FP}} = k$, $\displaystyle \overline{\text{F'P}} = 10 - k$로 놓고, 코사인법칙으로 $\displaystyle k$를 결정하는 패턴은 이차곡선 킬러 문제의 정석이에요.
• 포물선의 정의(초점거리 = 준선까지 수직거리)를 R, P 각각에 적용하여 $\displaystyle \overline{\text{QR}} = t$, $\displaystyle \overline{\text{QP}} = 5$로 놓는 것이 풀이의 핵심이에요. 좌표를 직접 구하려 하면 계산 늪에 빠져요.
• 무리수 유리화: $\displaystyle \dfrac{a + b\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$은 분모·분자에 $\displaystyle (2 + \sqrt{3})$을 곱해서 유리화. 전개 시 항별로 계산하여 부호 실수를 방지하세요.

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출처: 서울특별시교육청 (2026학년도 3월 전국연합학력평가)

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출처: 2026학년도 education_office 수학 46번, 출제기관: 한국교육과정평가원 본 콘텐츠의 문항 및 해설 저작권은 해당 출제기관에 있으며, 교육 목적의 분석입니다.