2025학년도 수학 38번 문항 분석

조건 분석

조건 간 관계: 조건 ①+④가 결합되어 "$\displaystyle a_k$가 정수"라는 강력한 제약을 만들어요. 이것이 조건 ③의 유리수 공비와 결합하면 가능한 $\displaystyle r$ 후보가 6개($\displaystyle \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}$)로 좁혀져요. 마지막으로 조건 ⑤가 $\displaystyle a_1$을 확정하면서 모든 조건을 동시에 만족하는 유일한 해를 결정해요.

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정석 풀이

Step 1. 주기함수 $\displaystyle f(x)$의 극값 위치 파악

$\displaystyle f(x) = x(2-x) = -(x-1)^2 + 1$이므로 $\displaystyle 0 \leq x < 2$에서 $\displaystyle x = 1$일 때 극댓값 1, 양 끝 $\displaystyle x = 0, 2$에서 값 0을 가져요.

$\displaystyle f(x+2) = f(x)$이므로 주기가 2인 주기함수이고, 그래프는 아래와 같은 개형이에요:

그래프 개형: $\displaystyle x$축 위에서 주기 2로 반복되는 포물선. $\displaystyle x = 0, 2, 4, 6, 8, \ldots$ (짝수 정수)에서 극솟값 0, $\displaystyle x = 1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ (홀수 정수)에서 극댓값 1을 가져요.

따라서 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x = t$에서 극값을 가지려면 $\displaystyle t$는 정수예요.

Step 2. 등비수열의 수렴 조건 설정

$\displaystyle \{a_n\}$이 수렴하므로 $\displaystyle -1 < r \leq 1$이에요. 조건 (나)에서 극값 위치가 3개 서로 다른 값이므로 $\displaystyle r \neq 1$이고, $\displaystyle a_1 \neq 0$이에요.

$\displaystyle \therefore -1 < r < 1, \quad r \neq 0$

Step 3. 유리수 공비 후보 열거

조건 (가)에서 $\displaystyle r$은 유리수이므로 서로소인 두 자연수 $\displaystyle p$ ($\displaystyle p \geq 2$), $\displaystyle q$에 대해 $\displaystyle |r| = \dfrac{q}{p}$로 놓아요.

조건 (나)에서 $\displaystyle a_k$가 정수가 되는 $\displaystyle k$가 3개 이상 존재해야 해요. $\displaystyle a_k = a_1 r^{k-1}$이고, 3개의 자연수 $\displaystyle i < j < l$에 대해 $\displaystyle a_i, a_j, a_l$이 모두 정수이면, $\displaystyle l - i \geq 2$이므로 $\displaystyle a_i$는 $\displaystyle p^2$의 배수여야 해요.

$\displaystyle 0 < a_i < 10$이고 $\displaystyle a_i$가 $\displaystyle p^2$의 배수이므로:

• $\displaystyle p = 2$이면 $\displaystyle p^2 = 4$ → $\displaystyle a_i \in \{4, 8\}$
• $\displaystyle p = 3$이면 $\displaystyle p^2 = 9$ → $\displaystyle a_i \in \{9\}$
• $\displaystyle p \geq 4$이면 $\displaystyle p^2 \geq 16 > 10$ → 불가능

따라서 $\displaystyle r$의 후보는:

$\displaystyle r \in \left\{ \pm\frac{1}{2},\ \pm\frac{1}{3},\ \pm\frac{2}{3} \right\}$

Step 4. 음수 공비 배제

$\displaystyle r < 0$이면 $\displaystyle a_n$의 부호가 교대해요. $\displaystyle 0 < a_k < 10$ 조건을 만족하는 양수 항이 3개 이상 존재하려면 홀수 번째 항과 짝수 번째 항 중 한쪽만 양수인데, 이 경우 양수인 항들만으로 정수 극값 위치 3개를 만들기 어려워요. 따라서 $\displaystyle r > 0$으로 한정해요.

Step 5. 양수 공비 각 경우의 $\displaystyle (a_i, a_j, a_l)$ 순서쌍 열거

$\displaystyle r = \dfrac{1}{2}$일 때: $\displaystyle (a_i, a_j, a_l) = (4, 2, 1)$

$\displaystyle r = \dfrac{1}{3}$일 때: $\displaystyle (a_i, a_j, a_l) = (9, 3, 1)$

$\displaystyle r = \dfrac{2}{3}$일 때: $\displaystyle (a_i, a_j, a_l) = (9, 6, 4)$

Step 6. 극한식 정리

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 a_{n+1} + a_{2n}}{a_{n+1} + a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1^2 r^n + a_1 r^{2n-1}}{a_1 r^n + a_1 r^{n-1}}$

$\displaystyle 0 < r < 1$이므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0$이에요. 분자·분모를 $\displaystyle a_1 r^{n-1}$로 나누면:

$\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 r + r^n}{r + 1} = \frac{a_1 r}{r + 1}$

따라서:

$\displaystyle \frac{a_1 r}{r + 1} = \frac{81}{10}$

$\displaystyle \therefore a_1 = \frac{81(r+1)}{10r}$

Step 7. 각 경우 검증

(ⅰ) $\displaystyle r = \dfrac{1}{2}$인 경우

$\displaystyle a_1 = \frac{81 \times \frac{3}{2}}{10 \times \frac{1}{2}} = \frac{81 \times 3}{10} = \frac{243}{10}$

$\displaystyle (a_i, a_j, a_l) = (4, 2, 1)$이면 $\displaystyle a_i = a_1 r^{i-1} = 4$에서 $\displaystyle a_1 = 4 \times 2^{i-1}$이어야 하는데, $\displaystyle a_1 = \frac{243}{10}$은 정수가 아니므로 조건 불만족.

(ⅱ) $\displaystyle r = \dfrac{1}{3}$인 경우

$\displaystyle a_1 = \frac{81 \times \frac{4}{3}}{10 \times \frac{1}{3}} = \frac{81 \times 4}{10} = \frac{324}{10} = \frac{162}{5}$

$\displaystyle a_l = a_1 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{l-1} = 1$에서 $\displaystyle a_1 = 3^{l-1}$이어야 하는데, $\displaystyle a_1 = \frac{162}{5}$는 $\displaystyle 3$의 거듭제곱이 아니므로 조건 불만족.

(ⅲ) $\displaystyle r = \dfrac{2}{3}$인 경우

$\displaystyle a_1 = \frac{81 \times \frac{5}{3}}{10 \times \frac{2}{3}} = \frac{81 \times 5}{10 \times 2} = \frac{405}{20} = \frac{81}{4}$

이제 $\displaystyle a_k = \frac{81}{4} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}$에서 정수가 되는 $\displaystyle k$를 찾아요:

$$\begin{aligned} a_1 &= \frac{81}{4} = \frac{3^4}{2^2} & \text{(정수 아님)} \\ a_2 &= \frac{81}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{27}{2} & \text{(정수 아님)} \\ a_3 &= \frac{81}{4} \times \frac{4}{9} = 9 & \checkmark \\ a_4 &= 9 \times \frac{2}{3} = 6 & \checkmark \\ a_5 &= 6 \times \frac{2}{3} = 4 & \checkmark \\ a_6 &= 4 \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3} & \text{(정수 아님)} \end{aligned}$$

$\displaystyle 0 < a_k < 10$인 정수 항: $\displaystyle a_3 = 9$, $\displaystyle a_4 = 6$, $\displaystyle a_5 = 4$ → 정확히 3개 ✓

Step 8. 답 계산

$\displaystyle a_7 = a_1 r^6 = \frac{81}{4} \times \left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{81}{4} \times \frac{64}{729} = \frac{81 \times 64}{4 \times 729} = \frac{16}{9}$

$\displaystyle a_7 = \dfrac{q}{p} = \dfrac{16}{9}$에서 $\displaystyle p = 9$, $\displaystyle q = 16$ (서로소)

$\displaystyle \therefore p + q = 9 + 16 = 25$

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별해

역추적 — 극한값에서 출발

극한값 $\displaystyle \dfrac{81}{10} = \dfrac{3^4}{10}$에서 $\displaystyle \dfrac{a_1 r}{r+1} = \dfrac{81}{10}$을 만족하는 조합을 역산해요.

$\displaystyle r = \dfrac{2}{3}$을 대입하면:

$\displaystyle a_1 = \frac{81 \times \frac{5}{3}}{\frac{20}{3}} = \frac{81}{4}$

$\displaystyle a_n = \frac{81}{4} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$에서 정수가 되는 $\displaystyle n$을 바로 확인하면 $\displaystyle n = 3, 4, 5$에서 $\displaystyle a_3 = 9$, $\displaystyle a_4 = 6$, $\displaystyle a_5 = 4$이므로 조건 (나) 충족을 즉시 검증할 수 있어요.

장점: 극한식에서 $\displaystyle a_1$을 먼저 구하고, 정수 조건 검증을 나중에 하므로 경우 분류 시간을 줄일 수 있어요. 단점: $\displaystyle r$ 후보를 체계적으로 열거하는 과정을 생략하면 "왜 $\displaystyle r = \frac{2}{3}$인가"에 대한 논리적 근거가 약해질 수 있어요.

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오답 분석

주관식 문항이므로 선지 분포는 없지만, 흔한 오답 패턴을 정리해요.

함정 포인트:

• $\displaystyle r = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle a_1 = 4$로 놓으면 $\displaystyle (4, 2, 1)$이 깔끔하게 나와서 이것이 답이라고 조기 판단하기 쉬워요. 반드시 극한식 $\displaystyle \frac{a_1 r}{r+1} = \frac{81}{10}$으로 검증해야 해요.
• 극한식 정리 시 $\displaystyle r^{2n-1}$이 $\displaystyle r^n$보다 빠르게 0에 수렴한다는 점을 놓치면 분자·분모의 주요 항을 잘못 추출해요.

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유사 기출

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핵심 정리

• 주기함수 극값 위치 판정: $\displaystyle f(x+T) = f(x)$인 주기함수에서 극값 위치는 한 주기 내 분석 후 $\displaystyle +nT$로 확장해요. 이 문항에서는 극값 위치 = 정수 전체.
• 유리수 공비 경우 분류 공식: $\displaystyle |r| = \frac{q}{p}$일 때, $\displaystyle a_k$가 정수가 되려면 $\displaystyle a_1$의 분모가 $\displaystyle p$의 거듭제곱이어야 해요. $\displaystyle 0 < a_k < 10$ 범위 조건에서 $\displaystyle p^2 < 10$이므로 $\displaystyle p \in \{2, 3\}$.
• 극한식 핵심: $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 a_{n+1} + a_{2n}}{a_{n+1} + a_n} = \frac{a_1 r}{r+1}$ — 분자·분모에서 $\displaystyle r^n$이 최고차항이고 $\displaystyle r^{2n-1}$은 더 빠르게 소멸해요.

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출처: 서울특별시교육청 (2026학년도 3월 전국연합학력평가)

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출처: 2026학년도 education_office 수학 38번, 출제기관: 한국교육과정평가원 본 콘텐츠의 문항 및 해설 저작권은 해당 출제기관에 있으며, 교육 목적의 분석입니다.