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2025학년도 수학 30번 문항 분석

GSEEK AI2026년 4월 5일조회 8

**조건 간 관계**

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정석 풀이

Step 1. 변수 설정

학생 A, B, C, D, E가 받는 검은 공의 개수를 각각 $\displaystyle a, b, c, d, e$ , 흰 공의 개수를 각각 $\displaystyle a', b', c', d', e'$ 이라 놓아요. 모두 음이 아닌 정수이고:

a+b+c+d+e = 4, \quad a'+b'+c'+d'+e' = 4

Step 2. (가) 조건으로 D+E 합의 홀짝 확정

전체 공은 8개이므로:

\underbrace{(a+a')+(b+b')+(c+c')}_{\text{A+B+C 합}} + \underbrace{(d+d')+(e+e')}_{\text{D+E 합}} = 8

(가)에서 A+B+C 합이 홀수이므로, D+E 합도 홀수예요. (짝수 − 홀수 = 홀수)

Step 3. (나) 조건과 결합하여 D, E의 공 개수 확정

(나)에서 $\displaystyle (d+d') = 2(e+e')$ 이므로, D+E 합을 $\displaystyle S$ 라 하면:

S = (d+d') + (e+e') = 2(e+e') + (e+e') = 3(e+e')

$\displaystyle S$ 는 3의 배수이면서 홀수이고, $\displaystyle 0 \leq S \leq 8$ 이에요.

$\displaystyle S=3$ : $\displaystyle e+e'=1$ , $\displaystyle d+d'=2$ ✓
$\displaystyle S=6$ : $\displaystyle e+e'=2$ , $\displaystyle d+d'=4$ 이지만 $\displaystyle S=6$ 은 짝수 ✗
$\displaystyle S=9$ : $\displaystyle 9 > 8$ ✗

따라서 $\displaystyle d+d' = 2$ , $\displaystyle e+e' = 1$ 이 유일해요.

Step 4. $\displaystyle (d, d', e, e')$ 의 케이스 열거

$\displaystyle d+d'=2$ 의 해: $\displaystyle (d, d') \in \{(0,2),\,(1,1),\,(2,0)\}$ — 3가지

$\displaystyle e+e'=1$ 의 해: $\displaystyle (e, e') \in \{(0,1),\,(1,0)\}$ — 2가지

총 $\displaystyle 3 \times 2 = 6$ 가지 케이스예요.

Step 5. 각 케이스에서 A, B, C의 분배 수 계산

$\displaystyle (d, d', e, e')$ 가 정해지면 A, B, C에게 나눠줄 검은 공은 $\displaystyle 4-d-e$ 개, 흰 공은 $\displaystyle 4-d'-e'$ 개예요. 3명에게 $\displaystyle k$ 개의 동일한 공을 나누는 경우의 수는 중복조합 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{k} = {}_{k+2}\mathrm{C}_{k}$ 이에요.

기본 공식값을 먼저 정리하면:

{}_{3}\mathrm{H}_{1} = 3, \quad {}_{3}\mathrm{H}_{2} = 6, \quad {}_{3}\mathrm{H}_{3} = 10, \quad {}_{3}\mathrm{H}_{4} = 15

케이스	$\displaystyle (d, d', e, e')$	검은 공 잔여	흰 공 잔여	경우의 수
(ⅰ)	$\displaystyle (2, 0, 1, 0)$	$\displaystyle 4-2-1=1$	$\displaystyle 4-0-0=4$	$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{1} \times {}_{3}\mathrm{H}_{4} = 3 \times 15 = 45$
(ⅱ)	$\displaystyle (2, 0, 0, 1)$	$\displaystyle 4-2-0=2$	$\displaystyle 4-0-1=3$	$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{2} \times {}_{3}\mathrm{H}_{3} = 6 \times 10 = 60$
(ⅲ)	$\displaystyle (1, 1, 1, 0)$	$\displaystyle 4-1-1=2$	$\displaystyle 4-1-0=3$	$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{2} \times {}_{3}\mathrm{H}_{3} = 6 \times 10 = 60$
(ⅳ)	$\displaystyle (1, 1, 0, 1)$	$\displaystyle 4-1-0=3$	$\displaystyle 4-1-1=2$	$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{3} \times {}_{3}\mathrm{H}_{2} = 10 \times 6 = 60$
(ⅴ)	$\displaystyle (0, 2, 1, 0)$	$\displaystyle 4-0-1=3$	$\displaystyle 4-2-0=2$	$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{3} \times {}_{3}\mathrm{H}_{2} = 10 \times 6 = 60$
(ⅵ)	$\displaystyle (0, 2, 0, 1)$	$\displaystyle 4-0-0=4$	$\displaystyle 4-2-1=1$	$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{4} \times {}_{3}\mathrm{H}_{1} = 15 \times 3 = 45$

Step 6. 전체 합산

45 + 60 + 60 + 60 + 60 + 45 = 330

$\displaystyle \therefore$ 답: 330

별해

[대칭성 활용 — 계산 단축]

6가지 케이스를 자세히 보면, 검은 공과 흰 공을 교환하면 (ⅰ)↔(ⅵ), (ⅱ)↔(ⅴ), (ⅲ)↔(ⅳ)가 서로 대칭이에요.

즉, 3개 케이스만 계산한 뒤 2를 곱하면 돼요:

2 \times (45 + 60 + 60) = 2 \times 165 = 330

장점: 계산량이 절반으로 줄어서 실전에서 시간을 크게 절약할 수 있어요.

단점: 대칭성을 인지하지 못하면 적용할 수 없고, 대칭 쌍이 맞는지 검증하는 데 주의가 필요해요.

오답 분석

주관식이므로 선지별 분포는 없지만, 자주 나오는 오답 패턴을 정리할게요.

흔한 오답	실수 유형
165	대칭성을 인지해서 3개 케이스만 계산했지만 ×2를 잊음
270	$\displaystyle d+d'=2$ , $\displaystyle e+e'=1$ 은 맞았지만 $\displaystyle (d,d',e,e')$ 중 $\displaystyle d=0$ 인 케이스 (ⅴ), (ⅵ)를 누락하여 4개 케이스만 합산 ( $\displaystyle 45+60+60+60=225$ ... 또는 부분 누락)
495 등 과대값	$\displaystyle d+d'=4$ , $\displaystyle e+e'=2$ ( $\displaystyle S=6$ , 짝수)인 경우까지 포함하여 불필요한 케이스를 추가
기타 산술 오류	$\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{3} = 10$ 을 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{3} = 6$ 으로 잘못 계산 ( $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{k}$ 와 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{k}$ 혼동)

함정 포인트:

(가) 조건 해석 실패: "A+B+C 합이 홀수"에서 곧바로 "D+E 합도 홀수"를 이끌어내지 못하면 문제에 진입조차 못 해요. 전체 합이 짝수(8)라는 점이 핵심이에요.
중복조합 공식 혼동: $\displaystyle {}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}$ 에서 $\displaystyle n$ 과 $\displaystyle r$ 을 바꾸면 전혀 다른 값이 나와요. 특히 $\displaystyle {}_{3}\mathrm{H}_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{3} = 10$ 인데, $\displaystyle {}_{3}\mathrm{C}_{3} = 1$ 로 계산하면 답이 크게 달라져요.

유사 기출

시험	번호	유사점	난이도
2023학년도 수능	확통 30번	중복조합 기반 경우의 수, 조건부 케이스 분류	킬러 (정답률 약 4%)
2025학년도 수능	확통 30번	중복조합 활용 케이스 분류 + 경우의 수 합산 구조	상 (정답률 34%)
2023년 7월 교육청	확통 30번	중복조합 + 복합 조건 문제, 정답률 1% 미만	킬러

핵심 정리

중복조합 공식: $\displaystyle {}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}$ — " $\displaystyle n$ 종류에서 $\displaystyle r$ 개를 중복 허용하여 선택"과 " $\displaystyle a_1 + a_2 + \cdots + a_n = r$ 의 음이 아닌 정수해 개수"는 같은 것이에요.
홀짝 분석이 출발점: 조건에 "합이 홀수/짝수"가 나오면, 전체 합에서 빼서 나머지 부분의 홀짝을 즉시 확정하세요.
대칭성 확인은 습관: 검은 공 ↔ 흰 공 교환 대칭이 보이면 케이스를 절반만 계산하고 ×2 — 시간이 크게 절약돼요.

출처: 서울특별시교육청 (2026학년도 3월 전국연합학력평가)

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