2025학년도 수학 22번 문항 분석

정답: 154
배점: 4점
난이도: medium
정답률: 확인 불가 (유사 유형 기출 기준 오답률 85~95% 수준으로 추정 — 킬러급 4점 문항)
단원: 수학II > 미분 > 도함수의 활용 (함수의 연속성과 미분가능성 종합)
핵심 개념: [함수의 연속성, 함수의 미분가능성, 절댓값 함수의 미분, 조건부 정의 함수, 삼차함수의 결정]
예상 소요시간: 8분
선택과목: 공통
문항유형: 주관식

출제 의도

조건부로 정의된 함수의 경계점에서 연속성과 미분가능성을 종합적으로 분석하여, 미지의 삼차함수를 역추적하는 능력을 평가하는 문항이에요. 절댓값 함수가 포함된 복잡한 구조에서 조건을 체계적으로 추출하고, 후보 함수의 전체 미분가능성을 검증하는 과정까지 요구해요.

조건 분석

조건 간 관계: ①은 미지함수의 형태를 제한하고, ②③은 $\displaystyle g(x)$의 구체적 구조를 정의해요. ④는 이 구조에서 경계점 조건을 추출하는 핵심 조건이에요. ④가 없으면 $\displaystyle f(x)$를 유일하게 결정할 수 없어요.

$\displaystyle \left| 2x^2 - 8 \right|$의 부호 분할: $\displaystyle x \ge 0$ 영역에서 $\displaystyle 2x^2 - 8$의 부호가 $\displaystyle x = 2$를 기준으로 바뀌어요.

$$$$

따라서 $\displaystyle g(x)$를 $\displaystyle x \ge 0$ 영역에서 다시 쓰면:

$$$$

정확히 정리하면:

$$$$

이렇게 3개 구간으로 분할하는 것이 풀이의 출발점이에요.

정석 풀이

Step 1. $\displaystyle x = 0$에서 연속 조건 → $\displaystyle f(0) = 4$

$\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x = 0$에서 연속이려면 좌극한 = 우극한 = 함수값이어야 해요.

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-f(x)) = -f(0)$

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} g(x) = \left| f(0) \right| + 0 - 8 = \left| f(0) \right| - 8$

연속 조건에서:

$\displaystyle -f(0) = \left| f(0) \right| - 8$

$\displaystyle f(0) = t$로 놓으면 $\displaystyle -t = |t| - 8$이에요.

• $\displaystyle t \ge 0$이면: $\displaystyle -t = t - 8$ → $\displaystyle t = 4$ ✓
• $\displaystyle t < 0$이면: $\displaystyle -t = -t - 8$ → $\displaystyle 0 = -8$ ✗

$\displaystyle \therefore f(0) = 4, \quad g(0) = |4| - 8 = -4$

Step 2. $\displaystyle x = 0$에서 미분가능 조건 → $\displaystyle f'(0) = 0$

좌미분계수:

$\displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-f(h) - (-f(0))}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-(f(h) - f(0))}{h} = -f'(0)$

우미분계수 ($\displaystyle h > 0$이 충분히 작으면 $\displaystyle 0 < h < 2$이므로):

$\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| f(h) \right| + 2h^2 - 8 - (-4)}{h}$

$\displaystyle f(0) = 4 > 0$이고 $\displaystyle f(x)$는 연속이므로, $\displaystyle x = 0$ 근방에서 $\displaystyle f(x) > 0$이에요. 따라서 $\displaystyle \left| f(h) \right| = f(h)$:

$\displaystyle = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - 4 + 2h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} + \lim_{h \to 0^+} 2h = f'(0) + 0 = f'(0)$

미분가능 조건:

$\displaystyle -f'(0) = f'(0) \implies \therefore f'(0) = 0$

Step 3. $\displaystyle x = 2$에서 미분가능 조건 → $\displaystyle f(2) = 0$, $\displaystyle \left| f'(2) \right| = 8$

$\displaystyle x = 2$는 $\displaystyle \left| 2x^2 - 8 \right|$이 꺾이는 점이에요. $\displaystyle g(x)$가 여기서도 미분가능해야 하므로 경계 분석이 필요해요.

좌미분계수 ($\displaystyle 0 \le 2+h < 2$, 즉 $\displaystyle h < 0$):

$\displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\left| f(2+h) \right| + 2(2+h)^2 - 8 - \left| f(2) \right|}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0^-} \frac{\left| f(2+h) \right| - \left| f(2) \right|}{h} + \lim_{h \to 0^-} \frac{2(4 + 4h + h^2) - 8}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0^-} \frac{\left| f(2+h) \right| - \left| f(2) \right|}{h} + \lim_{h \to 0^-} \frac{8h + 2h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{\left| f(2+h) \right| - \left| f(2) \right|}{h} + 8$

우미분계수 ($\displaystyle 2+h \ge 2$, 즉 $\displaystyle h > 0$):

$\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{g(2+h) - g(2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| f(2+h) \right| - 2(2+h)^2 + 8 - \left| f(2) \right|}{h}$

$\displaystyle = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| f(2+h) \right| - \left| f(2) \right|}{h} + \lim_{h \to 0^+} \frac{-8h - 2h^2}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| f(2+h) \right| - \left| f(2) \right|}{h} - 8$

좌미분계수 = 우미분계수이므로:

$\displaystyle \lim_{h \to 0^-} \frac{\left| f(2+h) \right| - \left| f(2) \right|}{h} + 8 = \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| f(2+h) \right| - \left| f(2) \right|}{h} - 8$

즉, $\displaystyle \left| f(x) \right|$의 좌미분계수와 우미분계수의 차이가 16이에요. 이는 $\displaystyle \left| f(x) \right|$가 $\displaystyle x = 2$에서 미분가능하지 않아야 한다는 뜻이에요.

$\displaystyle \left| f(x) \right|$가 $\displaystyle x = 2$에서 미분불가능하려면:

$\displaystyle \therefore f(2) = 0$

이때 $\displaystyle f(2) = 0$이고 $\displaystyle f'(2) \neq 0$이면:

$\displaystyle \lim_{h \to 0^+} \frac{\left| f(2+h) \right|}{h} = \left| f'(2) \right|, \quad \lim_{h \to 0^-} \frac{\left| f(2+h) \right|}{h} = -\left| f'(2) \right|$

위 등식에 대입하면:

$\displaystyle -\left| f'(2) \right| + 8 = \left| f'(2) \right| - 8$

$\displaystyle 16 = 2\left| f'(2) \right|$

$\displaystyle \therefore \left| f'(2) \right| = 8$

Step 4. 삼차함수 $\displaystyle f(x)$ 결정

지금까지 얻은 조건을 정리하면:

• $\displaystyle f(0) = 4$ … ㉠
• $\displaystyle f'(0) = 0$ … ㉡
• $\displaystyle f(2) = 0$ … ㉢
• $\displaystyle \left| f'(2) \right| = 8$ … ㉣

$\displaystyle f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$로 놓으면:

㉠에서: $\displaystyle d = 4$

㉡에서: $\displaystyle f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$이므로 $\displaystyle c = 0$

㉢에서: $\displaystyle 8a + 4b + 4 = 0$ → $\displaystyle 2a + b = -1$ … ⓐ

㉣에서: $\displaystyle f'(2) = 12a + 4b$이고 $\displaystyle \left| 12a + 4b \right| = 8$

경우 (i) $\displaystyle 12a + 4b = 8$: ⓐ에서 $\displaystyle b = -1 - 2a$를 대입하면

$\displaystyle 12a + 4(-1 - 2a) = 8 \implies 4a - 4 = 8 \implies a = 3, \quad b = -7$

$\displaystyle f(x) = 3x^3 - 7x^2 + 4$

경우 (ii) $\displaystyle 12a + 4b = -8$: 같은 방법으로

$\displaystyle 4a - 4 = -8 \implies a = -1, \quad b = 1$

$\displaystyle f(x) = -x^3 + x^2 + 4$

Step 5. 후보 검증 — 전체 미분가능성 확인

(i) $\displaystyle f(x) = 3x^3 - 7x^2 + 4$인 경우

인수분해하면:

$\displaystyle f(x) = (3x + 2)(x - 1)(x - 2)$

$\displaystyle f(1) = 0$이고 $\displaystyle f'(1) = 9 - 14 = -5 \neq 0$이에요.

따라서 $\displaystyle \left| f(x) \right|$가 $\displaystyle x = 1$에서 미분불가능해요 (꺾임 발생).

$\displaystyle 0 \le 1 < 2$ 구간에서 $\displaystyle g(x) = \left| f(x) \right| + 2x^2 - 8$이므로, $\displaystyle g(x)$도 $\displaystyle x = 1$에서 미분불가능해요.

$\displaystyle \therefore \text{기각}$

(ii) $\displaystyle f(x) = -x^3 + x^2 + 4$인 경우

인수분해하면:

$\displaystyle f(x) = -(x - 2)(x^2 + x + 2)$

$\displaystyle x^2 + x + 2$의 판별식 $\displaystyle = 1 - 8 = -7 < 0$이므로 실근이 없어요.

즉 $\displaystyle f(x) = 0$의 실근은 $\displaystyle x = 2$뿐이에요. $\displaystyle x \ge 0$에서 $\displaystyle x = 2$ 외에는 $\displaystyle f(x) \neq 0$이므로 $\displaystyle \left| f(x) \right|$가 $\displaystyle x = 2$ 외의 점에서 미분가능해요.

$\displaystyle x = 2$에서는 이미 Step 3의 조건을 만족하도록 설계되었으므로, $\displaystyle g(x)$는 실수 전체에서 미분가능해요.

$\displaystyle \therefore f(x) = -x^3 + x^2 + 4$

Step 6. 최종 답 계산

$\displaystyle f(-5) = -(-5)^3 + (-5)^2 + 4 = -(-125) + 25 + 4 = 125 + 25 + 4$

$\displaystyle \therefore f(-5) = 154$

별해 — 그래프 활용 풀이

$\displaystyle x \ge 0$ 영역에서 $\displaystyle g(x) = \left| f(x) \right| - \left| 2x^2 - 8 \right|$를 두 함수의 차로 시각화할 수 있어요.

$\displaystyle \left| 2x^2 - 8 \right|$은 $\displaystyle x = 2$에서 V자 모양으로 꺾여요 (아래로 볼록한 포물선이 $\displaystyle x$축에 반사). 이 꺾임의 좌·우 기울기 차이는:

$\displaystyle \left| 2x^2 - 8 \right|' \Big|_{x=2^+} - \left| 2x^2 - 8 \right|' \Big|_{x=2^-} = 4x \Big|_{x=2} - (-4x) \Big|_{x=2} = 8 - (-8) = 16$

$\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x = 2$에서 미분가능하려면, $\displaystyle \left| f(x) \right|$의 꺾임이 이 차이(16)를 정확히 상쇄해야 해요. 이를 위해 $\displaystyle f(2) = 0$이면서 $\displaystyle \left| f'(2) \right| = 8$이어야 해요.

이 기하적 관점은 Step 3의 대수적 계산을 직관적으로 이해하게 해 줘요. 단, 정확한 계수 결정은 대수적 풀이가 필요하다는 점이 단점이에요.

오답 분석

주관식 단답형 문항이므로 선지별 분석 대신, 자주 발생하는 오답 유형을 정리할게요.

함정 포인트: 이 문항의 핵심 함정은 후보가 2개 나온다는 점이에요. 조건 4개를 만족하는 삼차함수가 2개이므로, 반드시 각 후보에 대해 $\displaystyle g(x)$의 전체 미분가능성을 검증해야 해요. Step 5를 건너뛰면 오답이에요.

유사 기출

핵심 정리

• 절댓값 함수의 미분가능성: $\displaystyle \left| f(x) \right|$가 $\displaystyle f(a) = 0$인 점에서 미분가능할 조건은 $\displaystyle f'(a) = 0$이에요. 반대로 $\displaystyle f(a) = 0$이고 $\displaystyle f'(a) \neq 0$이면 $\displaystyle \left| f(x) \right|$는 $\displaystyle x = a$에서 미분불가능해요.
• 조건부 정의 함수의 경계점 분석: 절댓값이 꺾이는 점을 모두 찾아 구간을 분할하고, 각 경계에서 좌·우 미분계수를 비교하세요.
• 후보 검증은 필수: 조건에서 삼차함수 계수를 결정한 뒤, 반드시 모든 후보에 대해 전체 영역에서의 미분가능성을 확인하세요. 조건을 만족하더라도 다른 점에서 미분불가능할 수 있어요.

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출처: 서울특별시교육청 (2026학년도 3월 전국연합학력평가)

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출처: 2026학년도 education_office 수학 22번, 출제기관: 한국교육과정평가원 본 콘텐츠의 문항 및 해설 저작권은 해당 출제기관에 있으며, 교육 목적의 분석입니다.