2024학년도 수학 46번 문항 분석

출제 의도

쌍곡선의 정의($\displaystyle |PF - PF'| = 2a$)와 원의 성질(지름에 대한 원주각 = 직각)을 종합하여, 여러 보조 점의 거리를 단계적으로 결정하고 삼각형의 넓이를 구하는 종합적 추론 능력을 평가해요.

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조건 분석

조건 간 관계: "지름 원 + 제1사분면" 조건이 $\displaystyle \angle \mathrm{F'PF} = 90°$를 만들어 주고, 이것이 "내분 조건"과 결합하여 $\displaystyle k$값을 유일하게 결정해요. 하나라도 빠지면 미지수가 남아요.

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정석 풀이

Step 1. 변수 설정 — 내분 조건 활용

Q가 선분 $\displaystyle \mathrm{F'P}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{F'Q}} = k$ $\displaystyle (k > 0)$로 놓으면:

$\displaystyle \overline{\mathrm{QP}} = 2k, \quad \overline{\mathrm{F'P}} = 3k$

내분 비율 $\displaystyle 1:2$는 F'에서 P 방향으로 $\displaystyle 1:2$라는 뜻이에요. F'Q가 짧은 쪽이에요.

Step 2. 쌍곡선 정의 적용

P와 Q는 모두 쌍곡선 위의 점이고, 주축의 길이가 $\displaystyle 2a = 6$이에요.

점 P (제1사분면, F'에서 더 멂):

$\displaystyle \overline{\mathrm{F'P}} - \overline{\mathrm{FP}} = 6 \implies 3k - \overline{\mathrm{FP}} = 6$

$\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{FP}} = 3k - 6$

$\displaystyle \overline{\mathrm{FP}} > 0$이려면 $\displaystyle k > 2$여야 해요.

점 Q (F'P 위에서 F'에 가까운 쪽, F에서 더 멂):

$\displaystyle \overline{\mathrm{FQ}} - \overline{\mathrm{F'Q}} = 6 \implies \overline{\mathrm{FQ}} = k + 6$

Step 3. 직각 조건으로 $\displaystyle k$ 결정

선분 $\displaystyle \mathrm{FF'}$을 지름으로 하는 원 위에 점 P가 있으므로, 지름에 대한 원주각 정리에 의해:

$\displaystyle \angle \mathrm{F'PF} = \frac{\pi}{2}$

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{F'PF}$에서 $\displaystyle \angle P = 90°$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQF}$에 주목해요.

$\displaystyle \mathrm{F'}, \mathrm{Q}, \mathrm{P}$가 일직선이고, $\displaystyle \angle \mathrm{F'PF} = 90°$이므로 $\displaystyle \angle \mathrm{QPF} = 90°$

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{QPF}$에서 피타고라스 정리를 적용하면:

$\displaystyle \overline{\mathrm{QP}}^2 + \overline{\mathrm{FP}}^2 = \overline{\mathrm{FQ}}^2$

$\displaystyle (2k)^2 + (3k-6)^2 = (k+6)^2$

$\displaystyle 4k^2 + 9k^2 - 36k + 36 = k^2 + 12k + 36$

$\displaystyle 12k^2 - 48k = 0$

$\displaystyle 12k(k - 4) = 0$

$\displaystyle k > 0$이므로 $\displaystyle \boxed{k = 4}$

Step 4. 각 선분의 길이 확정

$\displaystyle \overline{\mathrm{F'Q}} = 4, \quad \overline{\mathrm{QP}} = 8, \quad \overline{\mathrm{F'P}} = 12$

$\displaystyle \overline{\mathrm{FP}} = 3(4) - 6 = 6, \quad \overline{\mathrm{FQ}} = 4 + 6 = 10$

Step 5. 각도 계산 — 보각 관계 활용

$\displaystyle \angle \mathrm{F'QR} = \theta$라 하면, $\displaystyle \angle \mathrm{PQF} = \pi - \theta$ (일직선 위의 보각)

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{QPF}$에서:

$\displaystyle \cos(\pi - \theta) = \frac{\overline{\mathrm{QP}}}{\overline{\mathrm{FQ}}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\displaystyle \therefore \cos\theta = -\frac{4}{5}, \quad \sin\theta = \frac{3}{5}$

Step 6. $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$ 결정 — 코사인법칙

$\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = t$ $\displaystyle (t > 0)$로 놓으면 $\displaystyle \overline{\mathrm{FR}} = 10 - t$

점 R도 쌍곡선 위의 점이므로:

$\displaystyle \overline{\mathrm{F'R}} - \overline{\mathrm{FR}} = \pm 6$

R은 쌍곡선의 다른 쪽 가지(F' 쪽)에 있으므로:

$\displaystyle \overline{\mathrm{F'R}} = \overline{\mathrm{FR}} - 6 = (10 - t) - 6 = 4 - t \quad \text{또는}$

$\displaystyle \overline{\mathrm{F'R}} = \overline{\mathrm{FR}} + 6 = 16 - t$

$\displaystyle \overline{\mathrm{F'R}} > 0$이어야 하므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{F'R}} = 16 - t$를 채택해요.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{QF'R}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{F'QR} = \theta$이고, 코사인법칙을 적용하면:

$\displaystyle \overline{\mathrm{F'R}}^2 = \overline{\mathrm{F'Q}}^2 + \overline{\mathrm{QR}}^2 - 2 \cdot \overline{\mathrm{F'Q}} \cdot \overline{\mathrm{QR}} \cdot \cos\theta$

$\displaystyle (16-t)^2 = 4^2 + t^2 - 2 \cdot 4 \cdot t \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)$

$\displaystyle 256 - 32t + t^2 = 16 + t^2 + \frac{32t}{5}$

$\displaystyle 240 - 32t = \frac{32t}{5}$

$\displaystyle 240 = 32t + \frac{32t}{5} = \frac{192t}{5}$

$\displaystyle \therefore t = \frac{240 \times 5}{192} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4}$

Step 7. 삼각형 넓이 계산

$\displaystyle S = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{F'Q}} \cdot \overline{\mathrm{QR}} \cdot \sin\theta = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{25}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{15}{2}$

$\displaystyle \therefore 20S = 20 \times \frac{15}{2} = \boxed{150}$

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별해 — 좌표 설정법

쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{c^2 - 9} = 1$로 놓고, 원 $\displaystyle x^2 + y^2 = c^2$과의 교점 P를 직접 구하는 방법이에요.

1. 원과 쌍곡선의 연립으로 P의 좌표를 $\displaystyle c$에 대해 표현
2. 직선 $\displaystyle \mathrm{F'P}$ 위에서 $\displaystyle 1:2$ 내분점 Q의 좌표를 구함
3. Q를 쌍곡선 방정식에 대입하여 $\displaystyle c$ 결정
4. 이후 R의 좌표를 구하고 넓이 계산

장단점: 좌표를 직접 다루므로 논리적으로 명확하지만, $\displaystyle c$에 대한 4차 방정식이 등장해 계산량이 정석 풀이보다 훨씬 많아요. 시험장에서는 비추천이에요.

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오답 분석

주관식이므로 선지별 분석 대신, 자주 나오는 오답과 그 원인을 정리했어요.

5대 함정 정리

1. 쌍곡선 정의 부호 혼동: $\displaystyle |PF - PF'| = 2a$에서 P가 어느 꼭짓점 쪽에 있느냐에 따라 부호가 달라져요. 제1사분면이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{F'P}} > \overline{\mathrm{FP}}$예요.

2. 원주각 정리 미적용: $\displaystyle \mathrm{FF'}$을 지름으로 하는 원 위의 점 P에서 $\displaystyle \angle \mathrm{F'PF} = 90°$ — 이걸 놓치면 직각삼각형 조건을 쓸 수 없어요.

3. 내분 비율 방향 혼동: "$\displaystyle \mathrm{F'P}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분" → $\displaystyle \mathrm{F'Q} : \mathrm{QP} = 1 : 2$. 방향을 반대로 잡으면 전체 풀이가 무너져요.

4. 보각의 코사인 부호: $\displaystyle \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$. 부호 하나 틀리면 코사인법칙에서 $\displaystyle t$값이 완전히 달라져요.

5. R의 위치 판단: R이 쌍곡선의 어느 가지에 있는지에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm{F'R}}$이 $\displaystyle 16 - t$ 또는 $\displaystyle 4 - t$가 돼요. 부호와 양수 조건을 반드시 확인하세요.

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유사 기출

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핵심 정리

• 쌍곡선의 정의: $\displaystyle |PF - PF'| = 2a$. 점이 어느 가지에 있는지에 따라 부호가 결정돼요. 항상 "어느 초점에서 더 먼가?"를 먼저 판단하세요.
• 지름에 대한 원주각 = 직각: 원 위의 점에서 지름의 양 끝을 보는 각은 항상 $\displaystyle 90°$예요. 쌍곡선+원 복합 문제에서 가장 먼저 확인해야 할 성질이에요.
• 코사인법칙 부호 주의: 보각 관계 $\displaystyle \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$를 정확히 처리하는 것이 이 문항의 승부처예요.

$\displaystyle |PF - PF'| = 2a, \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C, \qquad S = \tfrac{1}{2}ab\sin C$

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출처: 서울특별시교육청 (2024학년도 3월 전국연합학력평가)