2024학년도 수학 38번 문항 분석

1. 출제 의도

등비수열의 극한을 이용하여 구간별로 정의된 함수를 스스로 유도하고, 연속성·미분가능성 조건과 함수의 성질에 대한 여러 조건을 종합하여 삼차함수를 결정할 수 있는지 평가하는 문항이에요.

출처: 서울특별시교육청

2. 조건 분석

함수 $\displaystyle g(x)$의 정의

$\displaystyle g(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x)\left(\dfrac{x}{m}\right)^n + x}{\left(\dfrac{x}{m}\right)^n + 1}$

$\displaystyle \left(\dfrac{x}{m}\right)^n$의 극한값이 $\displaystyle x$와 $\displaystyle m$의 대소에 따라 달라지므로, $\displaystyle g(x)$는 구간별로 정의되는 함수예요. 이 구조를 파악하는 것이 풀이의 출발점이에요.

조건 (가): $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle (0, \infty)$에서 미분가능하고, $\displaystyle g'(m+1) \leq 0$

• 역할: $\displaystyle x = m$에서 $\displaystyle g(x)$의 정의가 바뀌므로, 이 지점에서 연속이고 미분가능해야 해요. 이를 통해 $\displaystyle f(m) = m$, $\displaystyle f'(m) = 1$이라는 두 조건을 얻어요.
• $\displaystyle g'(m+1) \leq 0$: $\displaystyle x > m$에서 $\displaystyle g(x) = f(x)$이므로, $\displaystyle f'(m+1) \leq 0$을 의미해요. 이후 경우 분류에서 모순을 판별하는 데 사용돼요.
• 이 조건이 없으면? $\displaystyle f(x)$를 특정할 수 있는 핵심 방정식 2개를 잃게 돼요.

조건 (나): $\displaystyle g(k)g(k+1) = 0$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle k$의 개수는 3

• 역할: $\displaystyle g(k)g(k+1) = 0$은 연속된 두 자연수 $\displaystyle k$, $\displaystyle k+1$ 중 적어도 하나에서 $\displaystyle g$의 값이 0이라는 뜻이에요. 이를 통해 $\displaystyle g(x) = 0$의 자연수 해가 연속된 2개($\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha+1$)임을 알 수 있어요.
• 이 조건이 없으면? $\displaystyle f(x)$의 근의 위치를 결정할 수 없어요.

조건 (다): $\displaystyle g(l) \geq g(l+1)$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle l$의 개수는 3

• 역할: $\displaystyle g(x)$가 감소하는 자연수 구간이 정확히 3개라는 뜻이에요. 삼차함수의 극대·극소 위치와 연결되어, $\displaystyle \alpha$가 $\displaystyle m+2$인지 $\displaystyle m+3$인지를 결정해요.
• 조건 (가)와의 관계: $\displaystyle g'(m+1) \leq 0$ 조건과 함께 경우를 분류하는 핵심 도구예요.
• 이 조건이 없으면? 경우의 수가 남아 $\displaystyle f(x)$를 유일하게 결정하지 못해요.

조건 간 관계

세 조건은 종속적이에요. (가)로 $\displaystyle f(m)$, $\displaystyle f'(m)$을 확보한 뒤, (나)로 근의 배치를 좁히고, (다)로 최종 경우를 확정하는 순차적 필터링 구조예요.

3. 정석 풀이

Step 1: $\displaystyle g(x)$의 구간별 정의 유도

$\displaystyle r = \dfrac{x}{m}$으로 놓으면, $\displaystyle r^n$의 극한은 $\displaystyle |r|$의 값에 따라 결정돼요.

$\displaystyle 0 < x < m$일 때 ($\displaystyle 0 < r < 1$):

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0 \quad \Rightarrow \quad g(x) = \frac{f(x) \cdot 0 + x}{0 + 1} = x$

$\displaystyle x = m$일 때 ($\displaystyle r = 1$):

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 1 \quad \Rightarrow \quad g(m) = \frac{f(m) \cdot 1 + m}{1 + 1} = \frac{f(m) + m}{2}$

$\displaystyle x > m$일 때 ($\displaystyle r > 1$):

분자·분모를 $\displaystyle r^n = \left(\dfrac{x}{m}\right)^n$으로 나누면:

$\displaystyle g(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x) + x \cdot \left(\dfrac{m}{x}\right)^n}{1 + \left(\dfrac{m}{x}\right)^n}$

$\displaystyle x > m$이면 $\displaystyle \dfrac{m}{x} < 1$이므로 $\displaystyle \left(\dfrac{m}{x}\right)^n \to 0$

$\displaystyle \therefore \quad g(x) = f(x)$

왜 분자·분모를 $\displaystyle r^n$으로 나누나요? $\displaystyle r > 1$이면 $\displaystyle r^n \to \infty$라서 그대로는 $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ 꼴이에요. 발산하는 항으로 나눠서 수렴하는 형태로 바꾸는 거예요.

$\displaystyle \therefore$ 정리하면:

$$$$

Step 2: 조건 (가)에서 $\displaystyle f(m) = m$, $\displaystyle f'(m) = 1$ 도출

$\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x = m$에서 연속이려면:

$\displaystyle \lim_{x \to m^-} g(x) = g(m) = \lim_{x \to m^+} g(x)$

• 좌극한: $\displaystyle \lim_{x \to m^-} x = m$
• 우극한: $\displaystyle \lim_{x \to m^+} f(x) = f(m)$
• 함숫값: $\displaystyle \dfrac{f(m) + m}{2}$

$\displaystyle m = \frac{f(m) + m}{2} = f(m)$

$\displaystyle \therefore \quad f(m) = m$

(이로써 $\displaystyle g(m) = m$이 되어 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x = m$에서 연속이에요.)

$\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x = m$에서 미분가능이려면 좌미분계수 = 우미분계수:

• 좌미분계수: $\displaystyle \lim_{x \to m^-} \dfrac{g(x) - g(m)}{x - m} = \lim_{x \to m^-} \dfrac{x - m}{x - m} = 1$
• 우미분계수: $\displaystyle \lim_{x \to m^+} \dfrac{f(x) - m}{x - m} = f'(m)$

$\displaystyle \therefore \quad f'(m) = 1$

왜 연속만으로는 부족한가요? 연속 조건에서 $\displaystyle f(m) = m$만 나와요. 미분가능 조건이 추가되어야 $\displaystyle f'(m) = 1$까지 얻을 수 있고, 이게 있어야 미지수를 충분히 결정할 수 있어요.

Step 3: 조건 (나)에서 근의 배치 파악

$\displaystyle 0 < x < m$에서 $\displaystyle g(x) = x > 0$이므로, $\displaystyle g(x) = 0$이 되려면 $\displaystyle x > m$이어야 해요.

즉, $\displaystyle x > m$에서 $\displaystyle g(x) = f(x) = 0$인 자연수를 찾는 문제예요.

$\displaystyle g(k)g(k+1) = 0$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle k$가 3개라는 것은:

• $\displaystyle g(x) = 0$의 자연수 해가 연속된 2개, $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \alpha + 1$이어야 해요.
• 왜냐하면: 해가 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha+1$이면 $\displaystyle k = \alpha - 1$, $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha + 1$에서 조건 성립 → 3개

확인: $\displaystyle k = \alpha - 1$일 때 $\displaystyle g(\alpha-1) \neq 0$이지만 $\displaystyle g(\alpha) = 0$이므로 곱은 0. $\displaystyle k = \alpha$일 때 $\displaystyle g(\alpha) = 0$이므로 곱은 0. $\displaystyle k = \alpha + 1$일 때 $\displaystyle g(\alpha+1) = 0$이므로 곱은 0. $\displaystyle k = \alpha + 2$일 때 $\displaystyle g(\alpha+1) = 0$이 아닌 다른 값이면 $\displaystyle g(\alpha+2) \neq 0$과의 곱 ≠ 0 → 제외.

따라서 $\displaystyle f(x) = 0$의 세 근 중 두 근이 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha + 1$ (자연수)이고, 나머지 한 근을 $\displaystyle \beta$라 하면:

$\displaystyle f(x) = (x - \alpha)(x - \alpha - 1)(x - \beta)$

Step 4: 조건 (다)로 경우 분류

$\displaystyle g(l) \geq g(l+1)$을 만족시키는 자연수 $\displaystyle l$이 3개예요. 이는 $\displaystyle g$가 감소하는 정수 구간이 3개라는 의미예요.

경우 (ⅰ): $\displaystyle g(m) < g(m+1)$일 때

$\displaystyle m$에서 $\displaystyle m+1$로 갈 때 증가하므로, $\displaystyle g(l) \geq g(l+1)$을 만족하는 $\displaystyle l$은 $\displaystyle m$ 이전에는 없어요 (∵ $\displaystyle 0 < x < m$에서 $\displaystyle g(x) = x$는 증가).

$\displaystyle g'(m+1) \leq 0$이므로 $\displaystyle x = m+1$ 이후부터 감소가 시작돼요.

감소하는 자연수 $\displaystyle l$이 3개 → $\displaystyle l = m+1, m+2, m+3$

이때 $\displaystyle \alpha = m + 3$이므로:

$\displaystyle f(x) = (x - m - 3)(x - m - 4)(x - \beta)$

$\displaystyle f'(m) = 1$ 조건에서:

$\displaystyle f'(x) = (2x - 2m - 7)(x - \beta) + \{x^2 - (2m+7)x + m^2 + 7m + 12\}$

$\displaystyle f'(m) = (-7)(m - \beta) + 12 = 1$

$\displaystyle \therefore \quad m - \beta = \frac{11}{7}$

$\displaystyle f(m) = m$ 조건에서:

$\displaystyle f(m) = (-3)(-4)(m - \beta) = 12(m - \beta) = 12 \times \frac{11}{7} = \frac{132}{7}$

$\displaystyle m = \frac{132}{7}$은 자연수가 아니므로 모순이에요.

경우 (ⅱ): $\displaystyle g(m) \geq g(m+1)$일 때

$\displaystyle m$에서 $\displaystyle m+1$로 갈 때 감소하므로, $\displaystyle l = m$이 포함돼요.

감소하는 자연수 $\displaystyle l$이 3개 → $\displaystyle l = m, m+1, m+2$

이때 $\displaystyle \alpha = m + 2$이므로:

$\displaystyle f(x) = (x - m - 2)(x - m - 3)(x - \beta)$

$\displaystyle f'(m) = 1$ 조건에서:

$\displaystyle f'(x) = (2x - 2m - 5)(x - \beta) + \{x^2 - (2m+5)x + m^2 + 5m + 6\}$

$\displaystyle f'(m) = (-5)(m - \beta) + 6 = 1$

$\displaystyle \therefore \quad m - \beta = 1, \quad \beta = m - 1$

$\displaystyle f(m) = m$ 조건에서:

$\displaystyle f(m) = (-2)(-3)(m - \beta) = 6 \times 1 = 6$

$\displaystyle \therefore \quad m = 6$

검증:

$\displaystyle m = 6$, $\displaystyle \beta = 5$이므로:

$\displaystyle f(x) = (x - 5)(x - 8)(x - 9)$

• $\displaystyle f(6) = 1 \times (-2) \times (-3) = 6 = m$ ✓
• $\displaystyle f'(6)$: $\displaystyle f'(x) = 3x^2 - 44x + 157$이므로 $\displaystyle f'(6) = 108 - 264 + 157 = 1$ ✓
• $\displaystyle g'(m+1) = f'(7) = 147 - 308 + 157 = -4 \leq 0$ ✓
• 조건 (나): $\displaystyle f(8) = 0$, $\displaystyle f(9) = 0$이므로 $\displaystyle g(k)g(k+1) = 0$인 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 7, 8, 9$ → 3개 ✓
• 조건 (다): $\displaystyle g(6) = 6$, $\displaystyle g(7) = f(7) = 2 \times (-1) \times (-2) = 4$이므로 $\displaystyle g(6) \geq g(7)$ ✓, 이하 $\displaystyle g(7) \geq g(8)$, $\displaystyle g(8) \geq g(9)$ 확인 → 3개 ✓

Step 5: 최종 답 계산

$\displaystyle g(12) = f(12) = (12 - 5)(12 - 8)(12 - 9) = 7 \times 4 \times 3 = \boxed{84}$

4. 별해

빠른 경우 판별법

경우 (ⅰ)을 먼저 시도하지 않고, $\displaystyle g(m) \geq g(m+1)$부터 시도하는 전략이에요.

근거: $\displaystyle g'(m+1) \leq 0$이고, $\displaystyle 0 < x < m$에서 $\displaystyle g(x) = x$ (증가)이므로, $\displaystyle x = m$ 부근에서 감소가 시작될 가능성이 높아요. $\displaystyle g(m) \geq g(m+1)$이면 감소 구간이 $\displaystyle l = m$부터 시작되어 조건 (다)와 자연스럽게 맞아요.

이렇게 하면 경우 (ⅱ)에서 바로 답을 구할 수 있어 시간을 절약할 수 있어요.

단점: 경우 (ⅰ)의 모순을 확인하지 않으면, 답이 유일한지 확신하기 어려워요. 시간이 부족할 때만 추천해요.

조건 (나) 빠른 파악법

$\displaystyle g(k)g(k+1) = 0$인 $\displaystyle k$가 3개라는 조건에서, $\displaystyle g(x) = 0$의 근이 연속 2개의 자연수임을 빠르게 파악하는 방법:

• 근이 1개($\displaystyle \alpha$)면: $\displaystyle k = \alpha - 1$, $\displaystyle \alpha$ → 2개 (부족)
• 근이 연속 2개($\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha+1$)면: $\displaystyle k = \alpha - 1$, $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha + 1$ → 3개 ✓
• 근이 떨어진 2개면: 4개 이상이 될 수 있어 부적합

이 판단을 문제를 읽자마자 할 수 있으면 풀이 속도가 크게 올라가요.

5. 오답 분석

이 문항은 주관식(단답형)이므로 선지별 분석 대신, 자주 발생하는 실수 유형을 정리할게요.

6. 유사 기출

7. 핵심 정리

• 등비수열의 극한 3구간 분류는 반드시 암기: $\displaystyle |r| < 1 \Rightarrow 0$, $\displaystyle r = 1 \Rightarrow 1$, $\displaystyle r > 1 \Rightarrow \infty$. 이 분류가 $\displaystyle g(x)$의 구간별 정의를 만들어요.
• $\displaystyle x = m$에서 정의가 바뀌면 연속 + 미분가능 두 조건을 모두 확인해야 해요. 연속만 보면 조건이 부족해요.
• 경우 분류 문제에서는 모든 경우를 검토하고 모순을 확인하는 습관이 중요해요. 하나의 경우에서 $\displaystyle m$이 자연수가 아닌 값이 나오면 즉시 모순으로 판정하세요.

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